Funções de perda de percentil

A solução para o problema:

$$\min_{m} \; E[|m-X|]$$

é conhecido por ser a mediana de $X$ , mas como é a função de perda para outros percentis? Ex: o 25º percentil de X é a solução para:

$$\min_{m} \; E[ L(m,X) ]$$

O que é $L$ neste caso?

Seja $I$ a função indicadora: é igual a $1$ para argumentos verdadeiros e $0$ contrário. Escolha $0\lt\alpha\lt 1$ e defina

$$\Lambda_\alpha(x)=\alpha x\, I(x\ge 0) - (1-\alpha)x\, I(x\lt 0).$$

Esta figura plota $\Lambda_{1/5}$ . Ele usa uma proporção precisa para ajudá-lo a medir as inclinações, que são iguais a $-4/5$ no lado esquerdo e $+1/5$ no lado direito. Nesse caso, excursões acima de $0$ são pesadamente reduzidas em comparação com excursões abaixo de $0$ .

Essa é uma função natural a ser tentada, porque pesa valores que excedem diferente de que são menores que . Vamos calcular a perda associada e, em seguida, otimizá-la.0 x $x$$0$$x$$0$

Escrevendo para a função de distribuição de e configurando , calculeX L α ( m , x ) = Λ α ( x - m $F$$X$$L_\alpha(m,x) = \Lambda_\alpha(x-m)$

$$\eqalign{ \mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\int_\mathbb{R} \Lambda_\alpha(x-m)dF(x)\\ &=\alpha\int_\mathbb{R} I(x\ge m)(x-m) dF(x) - (1-\alpha)\int_\mathbb{R} (x-m)I(x\lt m) dF(x)\\ &=\alpha\int_m^\infty(x-m)dF(x) - (1-\alpha)\int_{-\infty}^m(x-m) dF(x). }$$

Como varia nesta ilustração com a distribuição Normal Padrão , a área total ponderada pela probabilidade de é plotada. (A curva é o gráfico de .) A plotagem à direita para mostra mais claramente o efeito da ponderação reduzida dos valores positivos, pois sem essa ponderação reduzida a plotagem seria seja simétrico sobre a origem. O gráfico do meio mostra o ideal, onde a quantidade total de tinta azul (representando ) é a menor possível.F Λ 1 / 5 Λ 1 / 5 ( x - m ) d F ( x ) m = 0 E F ( G 1 / 5 ( m , X ) $m$$F$$\Lambda_{1/5}$$\Lambda_{1/5}(x-m)dF(x)$$m=0$$\mathbb{E}_F(L_{1/5}(m,X))\ $

Essa função é diferenciável e, portanto, seus extremos podem ser encontrados através da inspeção dos pontos críticos. A aplicação da Regra da Cadeia e do Teorema Fundamental do Cálculo para obter a derivada em relação a dá$m$

$$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial m}\mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\alpha\left(0-\int_m^\infty dF(x)\right) - (1-\alpha)\left(0 - \int_{-\infty}^m dF(x)\right)\\ &= F(m) - \alpha. }$$

Para distribuições contínuas esta tem sempre uma soluo que, por definição, é qualquer quantil de . Para as distribuições não contínuos isto poderá não ter uma solução, mas não haverá, pelo menos, uma para que para todos os e para todos : isto também (por definição) é um quantil de .α X m F ( x ) - α < 0 x < m F ( x ) - α ≥ 0 x ≥ m α $m$$\alpha$$X$$m$$F(x)-\alpha\lt 0$$x\lt m$$F(x)-\alpha\ge 0$$x\ge m$$\alpha$$X$

Finalmente, como e , fica claro que nem nem minimizarão essa perda. Isso esgota a inspeção dos pontos críticos, mostrando que se encaixa na conta.α ≠ 1 m → - ∞ m → ∞ Λ $\alpha\ne 0$$\alpha\ne 1$$m\to-\infty$$m\to\infty$$\Lambda_\alpha$

Como um caso especial, é a perda exibida no questão.$\mathbb{E}_F(2L_{1/2}(m,X)) = \mathbb{E}_F\left(\left|m-x\right|\right)$

Este artigo tem sua resposta. Para ser específico, A função de perda pode ser interpretada como 'equilibrando' as diferentes regiões de massa de probabilidade em torno de através da subtração . Para a mediana, essas regiões de massa são iguais: tornando a função de perda proporcional (na expectativa de que a constante seja negligenciável) a que fornece a conclusão desejada para a mediana.0,25 0,25 - 1 { X > m } L 0,5 ( m , X ) = | ( X - m ) ( 0,5 - 1 { X > m } )

$$L_{0.25}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right|.$$ $0.25$$0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \}$| X - m | $$L_{0.5}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.5 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right| = \left| \left( X - m \right) \times \pm 0.5 \right|,$$ $$\left| X - m\right|,$$