Uma moeda justa é lançada até que uma cabeça apareça pela primeira vez. A probabilidade disso acontecer em um sorteio de número ímpar é? Como abordar esse problema?
Uma moeda justa é lançada até que uma cabeça apareça pela primeira vez. A probabilidade disso acontecer em um sorteio de número ímpar é? Como abordar esse problema?
Respostas:
Some as probabilidades da moeda chegar cara pela primeira vez no sorteio 1, 3, 5 ...
O termo é bastante óbvio, é a probabilidade do primeiro lançamento ser cara.
O termo é a probabilidade de obter cabeças pela primeira vez no terceiro arremesso, ou a sequência TTH. Essa sequência tem uma probabilidade de . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2
O termo é a probabilidade de obter cabeças pela primeira vez no quinto sorteio, ou a sequência TTTTH. Essa sequência tem uma probabilidade de . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2
Agora podemos reescrever a série acima como
Esta é uma série geométrica que totaliza . A maneira mais fácil de mostrar isso é com um exemplo visual. Comece com a série
Esta é uma série geométrica que totaliza .
Se somarmos apenas os termos pares dessa série, podemos ver que eles somam .
Se você eliminar os termos pares da sequência completa, ficará com apenas os termos ímpares, que devem somar .
Pense recursivamente - seja a probabilidade da primeira cabeça em um lançamento ímpar e seja a probabilidade da primeira cabeça em um lançamento par. Agora , e também temos que é igual à probabilidade de caudas do primeiro lançamento vezes . Assim ; ; .p e p o + p de e = 1 p e p o p E = 1 / 2 ⋅ p o p o + 1 / 2 ⋅ p o = 1 P o = 2 / 3
self-study
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