Compreendendo o teste do qui-quadrado e a distribuição do qui-quadrado

Estou tentando entender a lógica por trás do teste do qui-quadrado.

O teste do qui-quadrado é . χ2é então comparado a uma distribuição qui-quadrado para descobrir um valor p.a fim de rejeitar ou não a hipótese nula. H0: as observações vêm da distribuição que usamos para criar nossos valores esperados. Por exemplo, poderíamos testar se a probabilidade de obteré dada porp,como esperamos. Então jogarmos 100 vezes e encontrarnHe1-nH. Queremos comparar nossa descoberta com o que é esperado (100⋅p). Poderíamos também usar uma distribuição binomial, mas esse não é o objetivo da pergunta ... A questão é:$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

Você pode explicar por que, sob a hipótese nula, segue uma distribuição qui-quadrado?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Tudo o que sei sobre a distribuição qui-quadrado é que a distribuição qui-quadrado do grau é a soma da distribuição normal padrão de k ao quadrado.$k$$k$

Poderíamos também usar uma distribuição binomial, mas esse não é o ponto da questão…

No entanto, é o nosso ponto de partida, mesmo para a sua pergunta real. Vou abordar isso de maneira informal.

Vamos considerar com o caso binomial de maneira mais geral:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

Suponha que e p sejam tais que Y seja bem aproximado por um normal com a mesma média e variância (alguns requisitos típicos são menores que min ( n p , n ( 1 - p ) ) não são pequenos ou que n p ( 1 - p ) não é pequeno).$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

Então será aproximadamente ∼ χ 2 1 . Aqui $(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$ é o número de sucessos.

$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

$n$$p$$H_0$

$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$.

Note that $(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$. Also note that $\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$.

Hence $\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Which is just the chi-square statistic for the binomial case.

So in that case the chi-square statistic should have the distribution of the square of an (approximately) standard-normal random variable.