Como encontrar uma densidade a partir de uma função característica?

Uma distribuição tem a função característica

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

Mostre que a distribuição é absolutamente contínua e escreva a função de densidade da distribuição.

Tentativa:

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | d t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

Resultado semelhante para $[0,\infty]$ pois $t$ é ao quadrado.

Não sei ao certo se fiz a integração corretamente, mas se posso mostrar que o valor absoluto de $\phi(t)$ é menor que $\infty$ , então a função é absolutamente contínua.

— statsguyz
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Use

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$ para

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$ para qualquer polinômio

p

$p$ . Isso garante que ambas as caudas sejam integráveis.

— Stefan Hansen

Funções de densidade são encontradas com a transformação inversa de Fourier. A função densidade da distribuição, se essa densidade existir, será dada por

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ϕ (x) d x = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ((1 - x^{2} / 2) e^{- x^{2} / 4}) d x .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

Essa integral pode ser dividida em duas, cada uma com um integrando da forma

\exp (- Q_{t} (x)) x^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

onde é uma forma quadrática com termo inicial negativo e é um número inteiro não negativo. Isso torna cada integrando uma função de Schwartz (diminuindo rapidamente) , garantindo sua integrabilidade para qualquer . A integrabilidade prova que é contínua ; a rápida diminuição prova que é absolutamente contínua. As integrais são prontamente realizadas completando o quadrado na exponencial, reduzindo-as a múltiplos de momentos pares da distribuição gaussiana. O resultado é $Q_t$ $k$ $t$

f (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

A continuidade de confirma a conclusão anterior da continuidade absoluta da distribuição. $f$

Lote de f

O quadrado de esta variável (simétrica) tem uma gama distribuição. $(3/2, 1)$

Como alternativa, pode-se reconhecer que

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- Eu)^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

$e^{-t^2/4}$ $-id/dt$ $f(x)$ $x^2$ $2e^{-t^2/4}$ $e^{-x^2}$ $2/\sqrt{\pi}$ $\sqrt{1/2}$

— whuber
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