Distribuições estáveis ​​que podem ser multiplicadas?

Distribuições estáveis são invariantes sob convoluções. Quais sub-famílias das distribuições estáveis ​​também são fechadas sob multiplicação? No sentido de que se f ∈ F e g ∈ F , então a função de densidade de probabilidade do produto, f ⋅ g (até uma constante de normalização) também pertence a F ?$F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

Nota: alterei substancialmente o conteúdo desta pergunta. Mas a ideia é essencialmente a mesma, e agora é muito mais simples. Eu só tive uma resposta parcial, então acho que está tudo bem.

Uma "distribuição estável" é um tipo particular de família de distribuições em escala de localização. A classe de distribuições estáveis ​​é parametrizada por dois números reais, a estabilidade e assimetria β ∈ [ - 1 , 1 ] .$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Um resultado citado no artigo da Wikipedia resolve esta questão sobre o fechamento em produtos de funções de densidade. Quando é a densidade de uma distribuição estável com α < 2 , então assintoticamente$f$$\alpha \lt 2$

$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

A resposta única, então, é que a família de distribuição Normal é a única distribuição estável fechada por produto de densidade.

Sei que essa é uma resposta parcial e não sou especialista, mas isso pode ajudar: se um dos dois PDFs unimodais for côncavo em log, sua convolução será unimodal. Devido a Ibragimov (1956) , através dessas notas . Aparentemente, se ambos forem côncavos em log, a convolução também será côncava em log.

Na medida em que o encerramento do produto, a única "limpa" resultará eu conheço para distribuições de produtos é o limite teorema descrito em esta resposta math.se .

Que tal uma versão truncada estes ? A distribuição uniforme limitada é um caso limitante de seu parâmetro de forma, e até onde eu sei, eles são unimodais e côncavos, de modo que tenham convoluções unimodais e côncavas. Eu não tenho idéia sobre seus produtos. Quando tiver mais tempo no final desta semana, poderia tentar executar algumas simulações para ver se recebo produtos côncavos em log de distribuições de erros truncados. Talvez Govindarajulu (1966) ajude.

Não sei ao certo qual é a política de cruzamento, mas parece que o pessoal do math.se também poderá ajudá-lo. Por curiosidade, você está tentando construir uma estrutura algébrica a partir de distribuições de probabilidade?