Distribuição do quociente de Rayleigh

Para um projeto de pesquisa, preciso encontrar o valor esperado do quociente generalizado de Rayleigh: Aqui A e B são matrizes de covariâncias determinísticas definidas positivamente p x p , e w segue uma distribuição multivariada com linhas circulares de altitude (digamos, padrão multivariado normal). A dimensão p é maior que 100.

E [w^{T} A w / w^{T} B w] .

$E\,[w^T A w \ / \ w^T B w].$

Esse problema é fácil de resolver usando simulação; no entanto, eu queria saber se alguém poderia saber como esse problema poderia ser resolvido (ou aproximado) analiticamente. Minha primeira idéia foi que, possivelmente pelo teorema do limite central de Lindeberg ou Lyapunov, tanto o numerador quanto o denominador são distribuídos aproximadamente normalmente, o que nos dá uma razão de duas variáveis aleatórias normais (correlacionadas) normais, mas a simulação mostra que esse não é o caso.

distributions expected-value

— Estatísticas
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Você sabe mais alguma coisa sobre a relação entre e ou propriedades além da definição simplesmente positiva? Sob uma certa interpretação de "distribuição circular" (ou seja, invariante sob transformações ortogonais), podemos assumir que wlog que ou é diagonal. Nenhuma hipótese de definição positiva de qualquer um é necessária para isso.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— cardinal

A e B são matrizes de correlação. Eles são bastante semelhantes, mas não idênticos.

— 27614

Possivelmente minha escolha de "distribuição circular" não foi ideal. O que quero dizer é uma distribuição elíptica onde as variáveis aleatórias w_i são independentes - por exemplo, a distribuição normal padrão.

— Estatísticas

No caso da distribuição normal, uma solução pode ser encontrada nas formas quadrática de Mathai e Provost, em variáveis aleatórias (1992). Os momentos inversos e de produto de tais formas quadráticas são derivados da função geradora de momento.

Formas quadráticas nas distribuições elípticas e seus momentos são tratados nas formas Mathai, Provost e Hayakawa, Bilinear e polinômios zonais (1995), mas não na mesma extensão que no caso normal. Como distribuições elípticas são geralmente definidas em termos de sua função característica , essa função aparecerá na solução se alguém escolher a abordagem mgf. No entanto, nunca foi calculado. $e^{it\mu}\xi(t'\Sigma t)$ $\xi$

— Horst Grünbusch
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