Como derivar a distribuição Poisson da distribuição gama?

Deixe- $T_1, T_2, \dots$ estar sequência iid de variáveis aleatórias exponencial com parâmetro $\lambda$ . A soma $S_n = T_1 + T_2 + \dots + T_n$ é uma distribuição Gama. Agora, como eu entendo, a distribuição de Poisson é definida por $N_t$ seguinte maneira:

N_{t} = max {k : S_{k} \leq t}

$N_t = \max\{k: S_k \le t\}$

Como formalmente mostro que é uma variável aleatória de Poisson? $N_t$

Todas as sugestões apreciadas. Tentei elaborar várias provas, mas não consigo chegar à equação final.

Referências

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

— user862
fonte

@ user862, as provas que conheço de antemão não são particularmente diretas. Durrett tem uma derivação em seu livro de probabilidades, que é bastante limpo. Leva 3-4 páginas, eu acho; o que, se você leu algum de seus livros, é uma longa prova para seus padrões. Resnick adota uma abordagem um pouco mais abstrata em seu texto de processos estocásticos. Construir e empunhar martelos maiores permite obter resultados mais gerais. Ross, sem dúvida, tem um tratamento em seu livro de processos estocásticos, mas eu não estou tão familiarizado com isso.

— cardeal

Encontrou a prova no livro de Durrett. É explicado com muita clareza. Obrigado pelas indicações.

— User862

Tenho certeza de que a prova de Durrett é boa. Uma solução direta para a pergunta feita é a seguinte.

Para $n \geq 1$

\begin{array}{rcl} P (N_{t} = n) & = & \int_{0}^{t} P (S_{n + 1} > t ∣ S_{n} = s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} P (T_{n + 1} > t - s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} e^{- λ (t - s)} \frac{λ^{n} s^{n - 1} e^{- λ s}}{(n - 1)!} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{λ^{n}}{(n - 1)!} \int_{0}^{t} s^{n - 1} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{(λ t)^{n}}{n!} \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(N_t = n) & = & \int_0^t P(S_{n+1} > t \mid S_n = s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t P(T_{n+1} > t-s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{\lambda^n }{(n-1)!} \int_0^t s^{n-1} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \end{array}$

Para , temos . $n = 0$ $P(N_t = 0) = P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$

Isso não prova que é um processo de Poisson, mais difícil, mas mostra que a distribuição marginal de é Poisson com a média . $(N_t)_{t \geq 0}$ $N_t$ $\lambda t$

— NRH
fonte

(+1) Apelar para densidades condicionais não é estritamente necessário aqui. Observe que e precisamos integrar apenas a densidade da junta na região . Como e são independentes, essa é uma tarefa simples.

P (N_{t} = n) = P (S_{n} \leq t, S_{n + 1} > t) = P (S_{n} \leq t, S_{n} + T_{n + 1} > t)

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Pr(N_t = n) = \Pr(S_n \leq t, S_{n+1} > t) = \Pr(S_n \leq t, S_n + T_{n+1} > t)$

{(s_{n}, t_{n + 1}) : 0 \leq s_{n} \leq t, t_{n + 1} > t - s_{n}} \subset R^{2}

$\{(s_n, t_{n+1}): 0 \leq s_n \leq t, t_{n+1} > t - s_n\} \subset \mathbb{R}^2$

S_{n}

$S_n$

T_{n + 1}

$T_{n+1}$

— cardeal

@ cardinal - e como a resposta da @ NRH não é direta? Na verdade, eu diria que é mais fácil, porque apenas uma integração é necessária.

— probabilityislogic

@probabilityislogic: Minha referência "direta" foi apenas uma observação sobre o cálculo restante não mostrado no meu comentário. Não era um sentido relativo em relação à resposta da @ NRH.

— cardeal

@probabilityislogic: Existe muita teoria (adicional) escondida nas duas primeiras linhas da prova do @ NRH. O ponto do meu comentário foi que podemos obter o mesmo resultado usando apenas os ossos da barra das distribuições de probabilidade conjunta, ou seja, apenas a medida do produto. Esta é, na minha opinião, uma base fundamentalmente mais simples para o cálculo do que a introdução de expectativa condicional e a justificativa necessária para passar da linha um a dois da resposta da @ NRH. Não quero dizer que, de qualquer forma, como crítica, minha intenção era apenas fornecer um método alternativo.

— cardeal