Cálculo de potência para teste de razão de verossimilhança

Eu tenho duas variáveis ​​aleatórias independentes de poisson, e , com e . Desejo testar versus a alternativa .$X_1$$X_2$$X_1 \sim \text{Pois}(\lambda_1)$$X_2 \sim \text{Pois}(\lambda_2)$$H_0:\, \lambda_1 = \lambda_2$$H_1:\, \lambda_1 \neq \lambda_2$

Eu já deduzi estimativas de máxima verossimilhança sob hipótese nula e alternativa (modelo) e com base naquelas que calculei a estatística do teste de razão de verossimilhança (LRT) (códigos R fornecidos abaixo).

Agora, estou interessado em calcular a potência do teste com base em:

1. Alfa corrigida (erro do tipo 1) = 0,05.
2. Usando diferentes tamanhos de amostra (n), diga n = 5, 10, 20, 50, 100.
3. Combinação diferente de e , que alterará as estatísticas do LRT (calculadas conforme abaixo).$\lambda_1$$\lambda_2$LRTstat

Aqui está o meu código R:

X1 = rpois(λ1); X2 = rpois(λ2)
Xbar = (X1+X2)/2
LLRNum = dpois(X1, X1) * dpois(X2, X2)
LLRDenom = dpois(X1, Xbar) * dpois(X2, Xbar)
LRTstat = 2*log(LLRNum/LLRDenom)

A partir daqui, como eu poderia proceder com o cálculo da potência (de preferência em R)?

Você pode fazer isso usando simulação.

Escreva uma função que faça seu teste e aceite os lambdas e o (s) tamanho (s) da amostra como argumento (você teve um bom começo acima).

Agora, para um determinado conjunto de lambdas e tamanhos de amostra, execute a função várias vezes (a função de replicação em R é ótima para isso). Então, o poder é apenas a proporção de vezes que você rejeita a hipótese nula; você pode usar a função média para calcular a proporção e propor o teste para fornecer um intervalo de confiança no poder.

Aqui está um exemplo de código:

tmpfunc1 <- function(l1, l2=l1, n1=10, n2=n1) {
    x1 <- rpois(n1, l1)
    x2 <- rpois(n2, l2)
    m1 <- mean(x1)
    m2 <- mean(x2)
    m <- mean( c(x1,x2) )

    ll <- sum( dpois(x1, m1, log=TRUE) ) + sum( dpois(x2, m2, log=TRUE) ) - 
            sum( dpois(x1, m, log=TRUE) ) - sum( dpois(x2, m, log=TRUE) )
    pchisq(2*ll, 1, lower=FALSE)
}

# verify under null n=10

out1 <- replicate(10000, tmpfunc1(3))
mean(out1 <= 0.05)
hist(out1)
prop.test( sum(out1<=0.05), 10000 )$conf.int

# power for l1=3, l2=3.5, n1=n2=10
out2 <- replicate(10000, tmpfunc1(3,3.5))
mean(out2 <= 0.05)
hist(out2)

# power for l1=3, l2=3.5, n1=n2=50
out3 <- replicate(10000, tmpfunc1(3,3.5,n1=50))
mean(out3 <= 0.05)
hist(out3)

Meus resultados (você diferirá com uma semente diferente, mas deve ser semelhante) mostraram uma taxa de erro do tipo I (alfa) de 0,0496 (IC 95% 0,0455-0,0541) que é próxima de 0,05, mais precisão pode ser obtida aumentando-se 10000 no comando replicar. Os poderes que calculei foram: 9,86% e 28,6%. Os histogramas não são estritamente necessários, mas eu gosto de ver os padrões.