Extreme Value Theory - Programa: Normal para Gumbel

O máximo de $X_1,\dots,X_n. \sim$ padrão Normal Normal converge para a Distribuição Gumbel Padrão de acordo com a Teoria dos Valores Extremos .

Como podemos mostrar isso?

Nós temos

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

Precisamos encontrar / escolher sequências de constantes tais que: $a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

Você pode resolvê-lo ou encontrá-lo na literatura?

Existem alguns exemplos na pág.6 / 71 , mas não no caso Normal:

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— emcor
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Respostas:

Uma maneira indireta é a seguinte:
Para distribuições absolutamente contínuas, Richard von Mises (em um artigo de 1936 "A distribuição da maior quantidade de valores" , que parece ter sido reproduzido em inglês? - em uma edição de 1964 com documentos), forneceu as seguintes condições suficientes para que o máximo de uma amostra converja para o padrão Gumbel, : $G(x)$

Seja a função de distribuição comum de iid variáveis aleatórias sua densidade comum. Então se $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

Usando a notação usual para o normal normal e calculando a derivada, temos

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} = \frac{- ϕ (x)^{2} - ϕ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{ϕ (x)^{2}} = \frac{- ϕ^{'} (x)}{ϕ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

Observe que . Além disso, para a distribuição normal,. Então nós temos que avaliar o limite $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

Mas é a razão de Mill, e sabemos que a razão de Mill para o padrão normal tende amedida quecresce. então $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

e a condição suficiente é satisfeita.

Os série associados são dadas como

{uma}_{n} = \frac{1}{n ϕ (b_{n})}, b_{n} = Φ^{- 1} (1 - 1 / n)

$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$

TERMO ADITIVO

Isto é do cap. 10.5 do livro HA David & HN Nagaraja (2003), "Order Statistics" (edição 3d) .

. Além disso, a referência a de Haan é"Haan, LD (1976). Exemplos extremos: uma introdução elementar. Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172." Mas cuidado, porque parte da notação tem conteúdo diferente emde Haan- por exemplo, no livro é a função de densidade de probabilidade, enquanto emde Haan significa a função do livro (isto é, a razão de Mill). De Haan também examina a condição suficiente já diferenciada. $\xi_a = F^{-1}(a)$ $f(t)$ $f(t)$ $w(t)$

insira a descrição da imagem aqui

— Alecos Papadopoulos
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Não tenho certeza se entendi sua solução. Então você considerou

como o CDF normal padrão. Eu segui e concordo que a condição suficiente é satisfeita. Mas como as séries associadas

repentinamente dadas por elas?

F

$F$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

— Renrenthehamster 7/07

@renrenthehamster Acho que essas duas partes são declaradas independentemente (sem conexão direta).

— Emcor 07/07

E então, como as séries associadas podem ser obtidas? De qualquer forma, eu abri uma pergunta sobre esta questão (e, mais geralmente, para outras distribuições além do padrão normal)

— renrenthehamster

@renrenthehamster Adicionei material relevante. Não acredito que exista uma receita padrão para todos os casos, para encontrar essas séries.

— Alecos Papadopoulos

A pergunta faz duas coisas: (1) como mostrar que o máximo de converge, no sentido de que converge (em distribuição) para seqüências adequadamente escolhidas e , à distribuição Standard Gumbel e (2) como encontrar tais seqüências. $X_{(n)}$ $(X_{(n)}-b_n)/a_n$ $(a_n)$ $(b_n)$

O primeiro é bem conhecido e documentado nos trabalhos originais sobre o teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko (FTG). O segundo parece ser mais difícil; esse é o problema abordado aqui.

Observe, para esclarecer algumas afirmações que aparecem em outras partes deste tópico, que

O máximo não converge para nada: diverge (ainda que extremamente devagar).
Parece haver diferentes convenções sobre a distribuição Gumbel. Adotarei a convenção de que o CDF de uma distribuição reversa de Gumbel é, de acordo com a escala e a localização, dado por . Um máximo padronizado de variáveis normais normais converge para uma distribuição Gumbel invertida. $1-\exp(-\exp(x))$

Intuição

Quando o são iid com função de distribuição comum , a distribuição do máximo é $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

Quando o suporte de não tem limite superior, como na distribuição Normal, a sequência de funções marcha para sempre para a direita, sem limite: $F$ $F^n$

figura 1

Gráficos parciais de para são mostrados. $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

Para estudar as formas dessas distribuições, podemos mudar cada um de volta para a esquerda por uma certa quantidade e redimensionar-lo por para torná-los comparáveis. $b_n$ $a_n$

Figura 2

Cada um dos gráficos anteriores foi deslocado para colocar sua mediana em e fazer seu intervalo interquartil de comprimento unitário. $0$

O FTG afirma que as seqüências e podem ser escolhidas para que essas funções de distribuição converjam ponto a ponto a cada para uma distribuição de valor extremo , até a escala e a localização. Quando é uma distribuição Normal, a distribuição de valor extremo limitante específica é um Gumbel invertido, até o local e a escala. $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

Solução

$F_n$ $a_n$ $b_n$

$0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

x_{q; n} = F^{- 1} (q^{1 / n}) .

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

Portanto, podemos definir

b_{n} = x_{1 / 2; n}, a_{n} = x_{3 / 4; n} - x_{1 / 4; n}; G_{n} (x) = F_{n} (a_{n} x + b_{n}) .

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

$G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{\log \log 2}{\log \log (4 / 3) - \log \log (4)}; β = \frac{1}{\log \log (4) - \log \log (4 / 3)} .

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

$a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

{uma}_{n}^{'} = \frac{registro ((4 {registro}^{2} (2)) / ({registro}^{2} (\frac{4}{3})))}{2 \sqrt{2 registro (n)}}, b_{n}^{'} = \sqrt{2 registro (n)} - \frac{registro (registro (n)) + registro (4 π {registro}^{2} (2))}{2 \sqrt{2 registro (n)}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

funcionará bem (e é o mais simples possível).

Figura 3

$G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

Referências

BV Gnedenko, sobre a distribuição limitante do prazo máximo em uma série aleatória . Em Kotz e Johnson, Breakthroughs in Statistics Volume I: Foundations and Basic Theory, Springer, 1992. Traduzido por Norman Johnson.

— whuber
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a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

Sim, é verdade, eu percebi isso logo depois que publiquei o meu comentário e o apaguei imediatamente. Obrigado!

— Vossler

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

@ Jess Isso é melhor, porque demonstrar uma abordagem alternativa foi a motivação para escrever esta resposta. Não entendo sua insinuação de que considerei "inútil escrever uma resposta", porque foi explicitamente o que fiz aqui.

— whuber

@ Jess Eu não posso continuar essa conversa porque é totalmente unilateral: ainda não reconheci o que escrevi em nenhuma das suas caracterizações. Estou desistindo enquanto estou atrasado.

— whuber