Teoria de valores extremos: parâmetros lognormal de GEV

A distribuição Lognormal pertence ao domínio máximo de atração de Gumbel , onde:

$F^{logN}(x; \mu,\sigma)=\Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$,

$F^{Gum}(x;\mu,\beta) = e^{-\exp\left({-\frac{x-\mu}{\beta}}\right)}$

Minha pergunta : Temos e ?$\mu=\mu$$\sigma=\beta$

A distribuição Generalized Extreme Value também usa a notação (Gumbel é o caso limite ), e comparar os CDFs para Standard-Lognormal e Standard-Gumbel implicaria novamente que os parâmetros coincidissem. Mas não tenho certeza disso, porque Gumbel é um caso limitante do Lognormal Maxima, portanto pode haver alguma transformação dos parâmetros também.$\beta=\sigma$$\xi =0$

Deixe $X_i \sim_{\text{i.i.d}} \text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$\log X_i$$\mu$$\sigma$$M_n := \max_{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$$a_n >0$$b_n$

$$\tag{1} \frac{M_n - b_n}{a_n} \to \text{Gum}(0, 1)$$

onde denota a distribuição Gumbel com localização e scale . Isso significa que para todos os .$\text{Gum}(\nu,\,\beta)$$\nu$$\beta$$F_{M_n}(a_n x + b_n) \to F_{\text{Gum}}(x;\,0,\,1)$$x$

Obviamente, as duas seqüências e dependem de e ; portanto, podem ser indicadas como e . Por exemplo, se é substituído por , a distribuição de é substituída pela de e a distribuição de é substituída pela de , o que implica que e devem ser substituídos por e para manter o mesmo limite. Da mesma forma, se substituirmos$a_n$$b_n$$\mu$$\sigma$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\mu$$\mu +1$$X_i$$e X_i$$M_n$$e M_n$$a_n$$b_n$$ea_n$$eb_n$$\mu$por com inalterado, deve ser substituído por e, em seguida, e devem ser substituídos por e .$0$$\sigma$$X_i$$e^{-\mu} X_i$$a_n$$b_n$$e^{-\mu} a_n$$e^{-\mu}b_n$

A causa pode ser formulado como: se utilizar as sequências de e no lado da mão esquerda da (1) - em vez do devido e - obtemos no lado direito? A resposta é então não, porque os parâmetros do Gumbel são de fato parâmetros de localização e escala, embora isso não seja verdade para o log-normal. O parâmetro do log-normal afeta a cauda, ​​como pode ser visto pelo fato de que o coeficiente de variação aumenta com . Enquanto sempre permanece no domínio de atração Gumbel, as seqüências$a_n(0, 1)$$b_n(0, \,1)$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\text{Gum}(\mu,\,\sigma)$$\sigma$$\sigma$$\text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$a_n$e deve tender a mais rapidamente à medida que aumenta. Pode-se provar que (1) podemos usar as seqüências e modo que consulte Embrechts P., Klüppelberg C. e Mikosch T., tabela 3.4.4 pp 155 -157 Se usarmos as seqüências e com errado , não obteremos um limite não degenerado para o lado esquerdo de (1), porque as taxas de crescimento de e são inadequadas para o final de$b_n$$\infty$$\sigma$$a_n$$b_n$

$$b_n(\mu, \sigma) = e^\mu \, b_n(0, 1)^\sigma, \qquad a_n(\mu, \sigma) = \sigma \,(2 \log n)^{-1/2} b_n(\mu,\,\sigma),$$ $a_n$$b_n$$\sigma$$a_n$$b_n$$X_i$ .