Alguém pode me mostrar como provar que uma versão de uma variável aleatória distribuída por Poisson, transformada em Anscombe, é distribuída aproximadamente normal (quando )?
Alguém pode me mostrar como provar que uma versão de uma variável aleatória distribuída por Poisson, transformada em Anscombe, é distribuída aproximadamente normal (quando )?
Respostas:
Aqui está um esboço de uma prova que combina três idéias: (a) o método delta, (b) transformações de estabilização de variância e (c) o fechamento da distribuição de Poisson sob somas independentes.
Primeiro, vamos considerar uma sequência de variáveis aleatórias iid Poisson com média . Então, o Teorema do Limite Central afirma que
Observe que a variação assintótica depende do parâmetro (presumivelmente desconhecido) . Seria bom se pudéssemos encontrar alguma função dos dados além de tal que, após centralizar e redimensionar, tivesse a mesma variação assintótica, independentemente do parâmetro .
O método delta fornece uma maneira útil de determinar a distribuição de funções suaves de algumas estatísticas cuja distribuição limitadora já é conhecida. Seja uma função com a primeira derivada contínua tal que . Então, pelo método delta (especializado no nosso caso particular de interesse),
Então, como podemos tornar constante a variação assintótica (digamos, o valor ) para todos os possíveis ? Pela expressão acima, sabemos que precisamos resolver
Não é difícil ver que a antiderivada geral é para qualquer , e a distribuição limitadora é invariável à escolha de (por subtração), para que possamos definir sem perda de generalidade. Essa função é chamada de transformação estabilizadora de variância .
Portanto, pelo método delta e por nossa escolha de , concluímos que
Agora, a distribuição de Poisson é fechada sob somas independentes. Portanto, se é Poisson com média , existem variáveis aleatórias que são iid Poisson com média forma que tenha a mesma distribuição que . Isso motiva a aproximação no caso de uma única variável aleatória de Poisson.
O que Anscombe (1948) descobriu foi que modificar a transformação (ligeiramente) para para uma constante realmente funcionou melhor para menor . Nesse caso, é quase ideal.
Note que esta modificação "destrói" a verdadeira propriedade estabilizadora de variação de , isto é, não é estabilizadora de variação no sentido estrito. Mas, está próximo e oferece melhores resultados para menor .