CDF elevado a um poder?

Se é um CDF, parece que ( ) também é um CDF.F Z ( z ) α α > $F_Z$$F_Z(z)^\alpha$$\alpha \gt 0$

P: Esse é um resultado padrão?

P: Existe uma boa maneira de encontrar uma função com st , ondeX ≡ g ( Z ) F X ( x ) = F Z ( z ) α x ≡ g ( z $g$$X \equiv g(Z)$$F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$$x \equiv g(z)$

Basicamente, tenho outro CDF em mãos, . Em algum sentido de forma reduzida, eu gostaria de caracterizar a variável aleatória que produz esse CDF.$F_Z(z)^\alpha$

Edição: ficaria feliz se eu pudesse obter um resultado analítico para o caso especial . Ou pelo menos saiba que esse resultado é intratável.$Z \sim N(0,1)$

Gosto das outras respostas, mas ninguém mencionou o seguinte ainda. O evento ocorre se e somente se , portanto, se e são independentes e , então portanto, para um número inteiro positivo (digamos, ) leva que os são iid{ m a x ( U , V ) ≤ t } U V W = m a x ( U , V ) F W ( t ) = F U ( t ) ∗ F V ( t ) α α = n X = m a x ( $\{U \leq t,\ V\leq t \}$$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$$U$$V$$W = \mathrm{max}(U,V)$$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$$\alpha$$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

Para , podemos alternar para obter , portanto seria essa variável aleatória, de modo que o máximo de cópias independentes tenha a mesma distribuição que (e isso não seja um dos nossos amigos familiares, em geral). F Z = F n X X n $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$$Z$

O caso de um número racional positivo (digamos, ) segue o anterior desde que α = m / n ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Para e irracional, escolha uma sequência de racionais positivos convergindo para ; então a sequência (onde podemos usar nossos truques acima para cada ) convergirá na distribuição para o desejado.a k α X k k $\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Essa pode não ser a caracterização que você está procurando, mas menos dá uma idéia de como pensar em para adequadamente agradável. Por outro lado, não tenho certeza do quanto isso pode ser mais agradável: você já possui o CDF, então a regra da cadeia fornece o PDF e você pode calcular momentos até o sol se pôr ...? É verdade que a maioria dos não tem um familiar para , mas se eu quisesse brincar com um exemplo para procurar algo interessante, eu poderia tentar o uniformemente distribuído no intervalo da unidade com , . α Z X α = $F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$ ZF(z)=z0<z<$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

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EDIT: Escrevi alguns comentários na resposta do @JMS e havia uma pergunta sobre minha aritmética, então escreverei o que quis dizer na esperança de que fique mais claro.

@cardinal corretamente no comentário à resposta do @JMS escreveu que o problema se simplifica para ou mais geralmente quando não é necessariamente , temos Meu argumento foi que, quando tem uma função inversa agradável, podemos resolver a função com álgebra básica. Escrevi no comentário que deveria ser Z N ( 0 , 1 ) x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) ) . F y = g ( x ) g y = g ( x ) =

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ $F$$y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Vamos pegar um caso especial, conectar as coisas e ver como funciona. Seja uma distribuição Exp (1), com CDF e CDF inverso É fácil conectar tudo para encontrar ; depois que terminamos, obtemos Então, em resumo , minha afirmação é que, se e se definirmos então terá um CDF que se parece com Podemos provar isso diretamente (vejaF ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . g y = g ( x ) = - ln ( 1 - ( 1 - e - x ) 1 / α ) X ∼ E $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X ) 1 / α ) , Y F Y ( y ) = ( 1 - e - y ) α . P ( Y ≤ y ) Se  X ∼ F  então  U = F ( X ) ∼ U n $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ e use álgebra para obter a expressão, no próximo para o último passo precisamos da Transformação Integral de Probabilidade). Apenas no caso (muitas vezes repetido) em que sou louco, fiz algumas simulações para verificar se funciona, ... e funciona. Ver abaixo. Para facilitar o código, usei dois fatos: $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

A plotagem dos resultados da simulação é apresentada a seguir.

O código R usado para gerar o gráfico (menos rótulos) é

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

O ajuste parece muito bom, eu acho? Talvez eu não esteja louco (desta vez)?

Prova sem palavras

A curva azul inferior é , a curva vermelha superior é (tipificando o caso ) e as setas mostram como ir de a .$F$$F^\alpha$$\alpha \lt 1$$z$$x = g(z)$

Q1) Sim. Também é útil para gerar variáveis ​​que são estocásticas; você pode ver isso na bonita foto do whuber :). troca a ordem estocástica.$\alpha>1$

$F_z(z)^\alpha$$1$$0$$F_z$

$F_Z$