Qual é o CDF de duas amostras de e do teste unilateral de Kolmogorov-Smirnov?

Estou tentando entender como obter valores- para o teste unilateral de Kolmogorov-Smirnov e estou lutando para encontrar CDFs para e no caso de duas amostras. O abaixo é citado em alguns lugares como CDF para em um caso de uma amostra: $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

Além disso, whuber sez existe uma formulação ligeiramente diferente deste CDF de uma amostra (estou substituindo $x$ por $t$ em sua citação por consistência com a minha notação aqui):

Usando a transformação integral de probabilidade, Donald Knuth deriva sua distribuição (comum) na p. 57 e exercício 17 do TAoCP Volume 2. Cito:

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

Isso se aplicaria a hipóteses unilaterais no caso de uma amostra, como: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , em que $F(x)$ é o CDF empírico de $x$ , e $F_{0}$ é algum CDF.

Eu acho que o $x$ , neste caso, é o valor de $D^{+}_{n}$ em sua amostra, e que $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ é o maior inteiro em $n-nx$ . (Isso está certo?)

Mas qual é o CDF para (ou ) quando se tem duas amostras? Por exemplo, quando H para os CDFs empíricos de e ? Como obter ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— Alexis
fonte

Assim como um ponteiro para quem quer responder a essa pergunta - minha resposta à pergunta anterior de Alexis (que está vinculada na pergunta acima) tem links para várias referências com algumas discussões sobre a história, cada uma com várias referências relevantes. Você pode verificar esses documentos e sua lista de referências.

— Glen_b -Reinstala Monica

@Glen_b Obrigado! Eu realmente aprecio sua excelente resposta à minha outra pergunta e segui os recursos citados, mas não consegui atrair o CDF para lá e, em vez de atolar nos comentários, pensei em abrir uma nova consulta . Referências adicionais são bem-vindas, se você souber alguma que funcione para isso.

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis

Alexis: nenhuma crítica foi feita pelo meu comentário; sua escolha para abrir uma nova pergunta foi exatamente correta (na minha opinião). Eu só queria poupar um pouco de trabalho das pessoas para rastrear algumas das referências relevantes - achei que talvez não ocorra necessariamente para todos seguirem o seu link para a outra pergunta, e talvez não ocorra para as pessoas que fizeram esses links no meu A resposta tinha algumas referências que eles podem querer conhecer.

— Glen_b -Reinstar Monica

Ok, vou dar uma facada nisso. Informações críticas são bem-vindas.

Na página 192 Gibbons e Chakraborti (1992), citando Hodges, 1958, comece com uma CDF de amostra pequena (exata?) Para o teste frente e verso (estou trocando a notação e por e , respectivamente): $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Onde é produzido através de uma enumeração de caminhos (aumentando monotonicamente em e ) da origem ao ponto através de um gráfico com - substituindo por - os valores dos eixos x e y são e . Além disso, os caminhos devem obedecer à restrição de permanecer dentro dos limites (em que é o valor da estatística de teste Kolmogorov-Smirnov): $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Abaixo está a sua imagem na Figura 3.2, fornecendo um exemplo para , com 12 desses caminhos: $A(3,4)$

Figura 3.2 da página 193 de Gibbons e Chakraborti (1992) Inferência Estatística Não Paramétrica.

Gibbons e Chakaborti continuam dizendo que o valor unilateral é obtido usando esse mesmo método gráfico, mas apenas com o limite inferior para e somente o superior para . $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Essas pequenas abordagens de amostra envolvem algoritmos de enumeração de caminho e / ou relações de recorrência, que sem dúvida tornam os cálculos assintóticos desejáveis. Gibbons e Chakraborti também observam os CDFs limitantes quando e aproximam do infinito, de : $n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

E eles fornecem o CDF limitador de (ou ) como: $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

Como e são estritamente não negativos, o CDF pode assumir valores diferentes de zero acima de : $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$CDF de $ D ^ {+} $ (ou $ D ^ {-} $)$

Referências
Gibbons, JD e Chakraborti, S. (1992). Inferência estatística não paramétrica . Marcel Decker, Inc., 3ª edição, edição revisada e ampliada.

Hodges, JL (1958). A probabilidade de significância do teste de duas amostras de Smirnov. Arkiv för matematik . 3 (5): 469--486.

— Alexis
fonte

O cdf real existe em toda parte, mas para o cdf será zero; a forma funcional que você deu aplica-se apenas para (isto é passível de raciocínio simples, o que é ?

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— Glen_b -Reinstate Monica