Um resultado importante e útil é o teorema da representação de Wold (às vezes chamado de decomposição de Wold), que diz que todas as séries temporais de covariância-estacionárias Yt pode ser escrita como a soma de duas séries de tempo, uma determinística e um estocástico.
Yt= μt+ ∑∞j = 0bjεt - j, onde μt é determinista.
O segundo termo é um MA infinito.
(Também é o caso de um MA invertível pode ser gravado como um processo AR infinito.)
Isso sugere que, se a série for covariância-estacionária , e se assumirmos que você pode identificar a parte determinística, poderá sempre escrever a parte estocástica como um processo de MA. Da mesma forma, se o MA satisfaz a condição de invertibilidade, você sempre pode escrevê-lo como um processo de recuperação garantida.
Se você tiver o processo escrito em um formulário, poderá convertê-lo para outro formulário.
Portanto, pelo menos em um sentido, para séries estacionárias de covariância, geralmente AR ou MA serão apropriadas.
Obviamente, na prática, preferimos não ter modelos muito grandes. Se você tiver um AR ou MA finito, tanto o ACF quanto o PACF acabarão se deteriorando geometricamente (há uma função geométrica em que o valor absoluto de qualquer função ficará abaixo), o que tenderá a significar que uma boa aproximação de um AR ou um MA na outra forma pode ser razoavelmente curto.
Portanto, sob a condição estacionária de covariância e supondo que possamos identificar os componentes determinísticos e estocásticos, geralmente a AR e a MA podem ser apropriadas.
A metodologia de Box e Jenkins procura um modelo parcimonioso - um modelo AR, MA ou ARMA com poucos parâmetros. Normalmente, o ACF e o PACF são usados para tentar identificar um modelo, transformando em estacionariedade (talvez por diferenciação), identificando um modelo a partir da aparência do ACF e do PACF (às vezes as pessoas usam outras ferramentas), ajustando o modelo e examinando o modelo. estrutura dos resíduos (normalmente via ACF e PACF nos resíduos) até que a série residual pareça razoavelmente consistente com o ruído branco. Frequentemente, haverá vários modelos que podem fornecer uma aproximação razoável a uma série. (Na prática, outros critérios são frequentemente considerados.)
Existem alguns motivos para críticas a essa abordagem. Por exemplo, os valores p resultantes de um processo iterativo geralmente não levam em consideração a maneira como o modelo foi alcançado (observando os dados); esse problema pode ser pelo menos parcialmente evitado pela divisão de amostras, por exemplo. Um segundo exemplo de crítica é a dificuldade de realmente obter uma série estacionária - embora em muitos casos se possa transformar para obter uma série que pareça razoavelmente consistente com a estacionariedade, normalmente não será o que realmente é (problemas semelhantes são comuns problema com modelos estatísticos, embora às vezes possa ser mais um problema aqui).
[A relação entre um AR e o MA infinito correspondente é discutida em Hyndman e Athanasopoulos ' Forecasting: princípios e práticas ,
aqui ]