Por que variáveis aleatórias são definidas como funções?

Estou tendo problemas para entender o conceito de uma variável aleatória como uma função. Eu entendo a mecânica (acho) mas não entendo a motivação ...

Dizer é uma probabilidade tripla, onde , é a álgebra de Borel- nesse intervalo e é a medida regular de Lebesgue. Seja uma variável aleatória de a tal que , , ..., , então tem uma distribuição uniforme discreta nos valores de 1 a 6. $(\Omega, B, P)$ $\Omega = [0,1]$ $B$ $\sigma$ $P$ $X$ $B$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ $X([0,1/6)) = 1$ $X([1/6,2/6)) = 2$ $X([5/6,1]) = 6$ $X$

Tudo bem, mas eu não entendo a necessidade da probabilidade original tripla ... poderíamos ter construído diretamente algo equivalente como onde é toda a apropriada do espaço e é uma medida que atribui a cada subconjunto a medida (número de elementos) / 6. Além disso, a escolha de foi arbitrária - poderia ter sido ou qualquer outro conjunto. $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ $S$ $\sigma$ $P_x$ $\Omega=[0,1]$ $[0,2]$

Então, minha pergunta é: por que se preocupar em construir um arbitrário com uma álgebra e uma medida e definir uma variável aleatória como um mapa da álgebra para a linha real? $\Omega$ $\sigma$ $\sigma$

probability random-variable measure-theory

— Leo Vasquez
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Note-se que a variável aleatória é a função de de , não de para . O requisito é que a variável aleatória seja mensurável em relação a .

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb{R}$

B

$\mathcal{B}$

R

$R$

B

$\mathcal{B}$

— mpiktas 14/05

Respostas:

Se você está se perguntando por que todo esse maquinário é usado quando algo muito mais simples pode ser suficiente - você está certo, nas situações mais comuns. Entretanto, a versão teórica da probabilidade da medida foi desenvolvida por Kolmogorov com o objetivo de estabelecer uma teoria de tal generalidade que pudesse lidar com, em alguns casos, espaços de probabilidade muito abstratos e complicados. De fato, os fundamentos teóricos da medida de Kolmogorov para a probabilidade finalmente permitiram que as ferramentas probabilísticas fossem aplicadas muito além do domínio de aplicação pretendido original em áreas como a análise harmônica.

A princípio, parece mais simples pular qualquer -algebra "subjacente" e simplesmente atribuir massas de probabilidade aos eventos que compõem o espaço da amostra diretamente, como você propôs. De fato, os probabilistas efetivamente fazem a mesma coisa sempre que escolhem trabalhar com a "medida induzida" no espaço amostral definido por . No entanto, as coisas começam a ficar complicadas quando você começa a entrar em espaços dimensionais infinitos. Suponha que você queira provar a Lei Forte dos Grandes Números para o caso específico de lançar moedas justas (ou seja, que a proporção de cabeças tende arbitrariamente perto de 1/2, à medida que o número de moedas vira para o infinito). Você pode tentar construir um $\sigma$ $\Omega$ $P \circ X^{-1}$ $\sigma$ -algebra no conjunto de sequências infinitas da forma . Mas aqui podemos descobrir que é muito mais conveniente usar o espaço subjacente como ; e, em seguida, use as representações binárias de números reais (por exemplo, ) para representar seqüências de lançamentos de moedas (1 sendo , 0 sendo coroa). Uma ilustração desse mesmo exemplo pode ser encontrada nos primeiros capítulos de Probabilidade e Billingsley. Medida . $(H,T,H,...)$ $\Omega = [0,1)$ $0.10100...$

— charles.y.zheng
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Obrigado! Vou verificar esse livro. No entanto, desde o

ainda é arbitrária (que poderia muito bem sido

no seu exemplo, é o intervalo unitário

o espaço 'preferido', que irá trabalhar em todas as circunstâncias ? Ou existem situações em que um mais complicado

, como

seria benéfico?

Ω

$\Omega$

[0, 2)

$[0,2)$

[0, 1]

$[0,1]$

[0, 1)

$[0,1)$

Ω

$\Omega$

R^{2}

$R^2$

— Leo Vasquez

@ Leo: Sim. Os processos estocásticos em tempo contínuo fornecem um exemplo. O exemplo canônico é o movimento browniano, onde o espaço de amostra

é considerado

, o espaço de todas as funções contínuas de valor real.

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— cardeal

@ NRH, Sim, eu deveria ter dito que pode ser tomada em vez de ser tomada . Eu estava (um tanto propositalmente) tentando escová-lo debaixo do tapete.

— cardeal

@ cardinal, no comentário de @ Leo foi perguntado se

é 'preferido' em todas as circunstâncias. Estou apenas dizendo que IMO não existe tal

e que é benéfico não exigir nada sobre

em geral. Quando você quiser trabalhar com um exemplo específico, pode haver razões para escolher um específico

. Note, no entanto, que a 'tautologia' está varrendo para debaixo do tapete que a existência do movimento browniano como uma medida de probabilidade em

precisa ser estabelecida.

[0, 1]

$[0,1]$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— NRH 14/05

@ NRH, desculpe pela minha lentidão hoje. Não consegui conectar a referência preferida ao comentário anterior de @ Leo. Obrigado. Em relação à observação da "tautologia", meu argumento foi que, em outras construções, a continuidade dos caminhos das amostras é um teorema , enquanto que, na construção baseada em

com mapa de identidade, é tautológica. Obviamente, o fato de o BM poder ser construído dessa maneira deve primeiro ser mostrado. Mas, isso é um pouco irrelevante.

C

$\mathcal{C}$

— cardeal

As questões relativas às álgebras são sutilezas matemáticas, que não explicam realmente por que ou se precisamos de um espaço em segundo plano . Na verdade, eu diria que não há evidências convincentes de que o espaço de fundo seja uma necessidade. Para qualquer configuração probabilística que é o espaço da amostra, a álgebra e uma medida de probabilidade, o interesse é em e não há razão abstrata para que seja a medida da imagem de um mapa mensurável $\sigma$ $(E, \mathbb{E}, \mu)$ $E$ $\mathbb{E}$ $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ . $X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

No entanto, o uso de um espaço de fundo abstrato fornece conveniência matemática que faz com que muitos resultados pareçam mais naturais e intuitivos. O objetivo é sempre a dizer algo sobre , a distribuição de , mas pode ser mais fácil e mais claramente expressa em termos de . $\mu$ $X$ $X$

Um exemplo é dado pelo teorema do limite central. Se é seu valor real com média e variância o CLT diz que $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ ondeé a função de distribuição para a distribuição normal padrão. Se a distribuição deéo resultado correspondente em termos da medida indica

P (\frac{\sqrt{n}}{σ} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - ξ) \leq x) \to Φ (x)

$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$

Φ

$\Phi$

X_{i}

$X_i$

μ

$\mu$

é necessária alguma explicação sobre a terminologia por.

queremos dizer a

-times convolução de

(a distribuição da soma)

funções

são as funções lineares

ρ_{\sqrt{n} / σ} \circ τ_{ξ} \circ ρ_{1 / n} (μ^{* n}) ((- \infty, x]) \to Φ (x)

$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$

μ^{* n}

$\mu^{*n}$

n

$n$

μ

$\mu$

ρ_{c}

$\rho_c$

ρ_{c} (x) = c x

$\rho_c(x) = cx$

é a tradução

. Provavelmente, alguém poderia se acostumar com a segunda formulação, mas faz um bom trabalho para esconder o que se trata.

τ_{ξ}

$\tau_{\xi}$

τ_{ξ} (x) = x - ξ

$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

O que parece ser o problema é que as transformações aritméticas envolvidas no CLT são claramente expressas em termos de variáveis aleatórias, mas não se traduzem tão bem em termos de medidas.

— NRH
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(+1) Boa descrição. Eu acho que a outra razão pela qual a notação anterior é tão popular é que ela se traduz mais naturalmente em noções intuitivas nos aplicativos. (Votado há várias horas.)

— cardeal

@ cardinal, obrigado por deixar esse ponto mais claro. Parece mais natural pensar e argumentar em termos de uma soma de variáveis, não de uma convolução de medidas de probabilidade, e gostaríamos que a matemática refletisse isso.

— NRH 15/05

Recentemente, eu me deparei com essa nova maneira de pensar na Variável Aleatória e no espaço de fundo . Não tenho certeza se essa é a pergunta que você estava procurando, pois não é uma razão matemática, mas acho que fornece uma maneira muito clara de pensar em RVs. $X$ $\Omega$

Imagine uma situação em que jogamos uma moeda. Essa configuração experimental consiste em um conjunto de possíveis condições iniciais que incluem a descrição física de como a moeda é lançada. O espaço de fundo consiste em todas essas condições iniciais possíveis. Por uma questão de simplicidade, podemos assumir que os lançamentos das moedas variam apenas em velocidade, e então $\Omega = [0,v_{max}]$

A variável aleatória pode então ser pensada como uma função que mapeia todos os estados iniciais com o resultado correspondente do experimento, isto é, se é coroa ou cabeça. $X$ $\omega \in \Omega$

Para o RV: a medida corresponderia então à medida da probabilidade sobre as condições iniciais, que juntamente com a dinâmica do experimento representada por $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$ $Q$ $X$ determina a distribuição de probabilidade sobre os resultados.

Para referência a essa idéia, você pode ver os capítulos de Tim Maudlin ou Micheal Strevens em "Probabilties in Physics" (2011)

— Sebastian
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Por que variáveis ​​aleatórias são definidas como funções?

Por que variáveis aleatórias são definidas como funções?