Derivando a distribuição bivariada de Poisson

Encontrei recentemente a distribuição bivariada de Poisson, mas estou um pouco confusa sobre como ela pode ser derivada.

A distribuição é dada por:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Pelo que pude entender , o termo \ theta_ {0}$\theta_{0}$ é uma medida de correlação entre $X$ e $Y$ ; portanto, quando $X$ e $Y$ são independentes, $\theta_{0} = 0$ e a distribuição simplesmente se torna o produto de duas distribuições Poisson univariadas.

Tendo isto em mente, a minha confusão baseia-se o termo somatório - Estou assumindo este termo explica a correlação entre $X$ e $Y$ .

Parece-me que o somatório constitui algum tipo de produto das funções de distribuição cumulativa binomial em que a probabilidade de "sucesso" é dada por e a probabilidade de "falha" é dada por , porque, mas eu poderia estar longe disso.i! $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ (i!$i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$$\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$

Alguém poderia fornecer alguma assistência sobre como essa distribuição pode ser derivada? Além disso, se pudesse ser incluído em qualquer resposta como esse modelo pode ser estendido para um cenário multivariado (digamos três ou mais variáveis ​​aleatórias), isso seria ótimo!

(Finalmente, observei que havia uma pergunta semelhante postada antes ( Entendendo a distribuição bivariada de Poisson ), mas a derivação não foi realmente explorada.)

Numa apresentação corrediça , Karlis e Ntzoufras definir um bivariável Poisson como a distribuição de onde o X i independentemente possui Poisson distribuições. Lembre-se de que ter essa distribuição significa$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

para$k=0, 1, 2, \ldots.$

O evento é a união disjunta dos eventos$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

para todos os que tornam os três componentes inteiros não negativos, dos quais podemos deduzir que . Como os são independentes, suas probabilidades se multiplicam, de onde0 ≤ i ≤ min ( x , y ) X $i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Esta é uma fórmula; acabamos. Mas, para ver que é equivalente à fórmula da pergunta, use a definição da distribuição de Poisson para escrever essas probabilidades em termos dos parâmetros e (assumindo que é zero) -o algebricamente para parecer o máximo possível com o produto :θ 1 , θ 2 Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y $\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Se você realmente deseja - é um pouco sugestivo - pode reexprimir os termos na soma usando os coeficientes binomiais E , produzindo$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

exatamente como na pergunta.

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A generalização para cenários multivariados pode prosseguir de várias maneiras, dependendo da flexibilidade necessária. O mais simples contemplaria a distribuição de

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

para variáveis ​​distribuídas independentes de Poisson . Para maior flexibilidade, variáveis ​​adicionais podem ser introduzidas. Por exemplo, use variáveis independentes Poisson e considere a distribuição multivariada do ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Aqui está uma maneira de derivar a distribuição de poisson bivariada.

Sejam variáveis ​​aleatórias independentes de poisson com parâmetros . Então definimos . A variável , comum a e , faz com que o par seja correlacionado. Então devemos calcular a função de massa de probabilidade:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Espero que isso ajude!