Qual é a distribuição da razão de duas variáveis aleatórias de Poisson?

Eu tenho uma pergunta sobre variáveis aleatórias. Vamos supor que temos duas variáveis aleatórias e . Digamos que seja Poisson distribuído com o parâmetro e seja Poisson distribuído com o parâmetro . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

Quando você constrói a fratura a partir de e a chama de variável aleatória , como isso é distribuído e qual é a média? É ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
fonte

Por acaso, deparei-me com isso ao procurar referências. A inferência para a razão de Poisson é bastante direta, tanto para os freqüentadores ( Nelson, 1970, "Intervalos de confiança para a razão de dois meios de Poisson quanto para os intervalos de predição de Poisson" ) e para os bayesianos (Lindley, 1965). Também não há problema com denominadores zero!

— Frank Tuyl

O questionador original, e outros, podem estar interessados em observar que

tem valor esperado

. Dependendo da sua aplicação pode ser mais útil do que

. Para mais detalhes, veja meu artigo no Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, chamado "Desvio estatístico nas razões isotópicas" com DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Este é um problema frequentemente encontrado na astronomia. A solução bayesiana foi elaborada por Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Estimação Bayesiana de Razões de Dureza: Modelagem e Computações ). Eles incluem contaminação de fundo em seu tratamento.

— User78543 31/01

Pelo resumo, não é óbvio que eles estejam lidando com a questão do OP. Como este artigo se relaciona com a distribuição da razão de duas variáveis aleatórias de Poisson?

— 315 Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/...

— Kjetil b Halvorsen

Respostas:

Eu acho que você vai ter um problema com isso. Como a variável Y terá zero, X / Y terá alguns valores indefinidos, para que você não obtenha uma distribuição.

— bill_080
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+1 Isso mesmo. Mas (para evitar possíveis confusões) o problema não é apenas que

pode ser igual a

: é que ele pode ser igual a

com probabilidade positiva. (Por exemplo, um quociente de normais tem uma distribuição mesmo que o denominador possa ser igual a

) Assim,

é indefinido com probabilidade positiva, tornando sua média (e qualquer outro momento) indefinida também.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, mas na literatura sobre taxas de falsas descobertas, as pessoas não têm problemas com

que

é o verdadeiro positivo e

é o número total de positivos :-). É sempre compreendida, por convenção, que 0 fora de 0 é igual a 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@ Mark: Provavelmente é melhor fazer isso como uma nova pergunta e ser bem específico sobre o que você está tentando alcançar.

— Bill_080 18/05

@NRH No seu caso há uma forte dependência de

. Isso muda completamente as coisas, porque agora a probabilidade de uma proporção positiva: zero é nula.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ Whuber, claro que está certo. Obrigado por apontar isso. Eu estava pensando que talvez houvesse alguma convenção não declarada para tornar o problema significativo. Mas a partir do comentário de @ MarkDollar acima, parece que esse não era o caso, para começar.

— NRH

Ao perceber que a proporção não é de fato um conjunto mensurável bem definido, redefinimos a proporção como um conjunto mensurável adequadamente onde a soma segue desde que, eesão variáveis independentes de Poisson. A densidade segue o teorema de Radon-Nykodym.

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Aaron Sheldon
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Suponha que

venha de uma distribuição de Poisson com truncamento zero. A resposta seria então:

Y

$Y$

— Brash Equilibrium

Qual é a distribuição da razão de duas variáveis ​​aleatórias de Poisson?

Qual é a distribuição da razão de duas variáveis aleatórias de Poisson?