Em convergência em probabilidade ou em convergência, qual medida é a probabilidade?

Eu estava apresentando provas do WLLN e uma versão do SLLN (assumindo o 4º momento central limitado) quando alguém perguntou qual medida é a probabilidade com respeito também e percebi que, refletindo, não tinha muita certeza.

Parece que é direto, já que em ambas as leis temos uma sequência de RVs independentes de , com média e variância finita idênticas. Existe apenas uma variável aleatória à vista, ou seja, o , então a probabilidade deve estar errada na distribuição do , certo? Mas isso não parece certo para a lei forte, já que a técnica de prova típica é definir um novo RV e trabalhar com isso. , e o limite está dentro da probabilidade:$X_{i}$$X_{i}$$X_{i}$$S_{n} := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$

$Pr \left[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} = E[X_{i}]\right]=1$

Então agora parece que o RV é a soma em $n$ termos, então a probabilidade está acima da distribuição das somas $S_{n}$ , onde $n$ não é mais fixo. Isso está correto? Em caso afirmativo, como construiríamos uma medida de probabilidade adequada nas seqüências de somas parciais?

É um prazer receber respostas intuitivas sobre o que está acontecendo, bem como respostas formais, usando, por exemplo, análises reais ou complexas, probabilidade / estatística de graduação, teoria básica das medidas. Li Convergência em probabilidade vs. convergência quase certa e links associados, mas não encontro ajuda aqui.

A medida de probabilidade é a mesma nos dois casos, mas a questão do interesse é diferente entre os dois. Nos dois casos, temos uma sequência (contável) infinita de variáveis ​​aleatórias definidas em um único espaço de probabilidade . Consideramos , e como os produtos infinitos em cada caso (é necessário ter cuidado, aqui, estamos falando apenas de medidas de probabilidade, pois, caso contrário, podemos ter problemas).$(\Omega,\mathscr{F},P)$$\Omega$$\mathscr{F}$$P$

Para o SLLN, preocupamo-nos com a probabilidade (ou medida) do conjunto de todos os quais as somas parciais dimensionadas NÃO convergem. Este conjunto tem medida zero (wrt ), diz o SLLN.$\omega = (\omega_{1},\omega_{2},\ldots)$$P$

Para o WLLN, nos preocupamos com o comportamento da sequência de medidas de projeção , onde para cada , é o projeção de no espaço mensurável finito . O WLLN diz que a probabilidade (projetada) dos cilindros (ou seja, eventos envolvendo ), nos quais as somas parciais dimensionadas não convergem, chega a zero no limite como vai para o infinito.$\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$$n$$P_{n}$$P$$\Omega_{n} = \prod_{i=1}^{n} \Omega_{i}$$X_{1},\ldots,X_{n}$$n$

No WLLN, estamos calculando probabilidades que parecem removidas do espaço infinito do produto, mas ele nunca desapareceu - estava lá o tempo todo. Tudo o que estávamos fazendo era projetar no subespaço de 1 a e, em seguida, reduzir o limite posteriormente. Que tal coisa é possível, que é possível construir uma medida de probabilidade em um espaço infinito de produtos, de modo que as projeções para cada correspondam ao que pensamos que deveriam e façam o que deveriam fazer, é uma das conseqüências do teorema da extensão de Kolmogorov .$n$$n$

Se você quiser ler mais, encontrei a discussão mais detalhada de pontos sutis como estes em "Probabilidade e teoria da medida", de Ash, Doleans-Dade. Existem alguns outros, mas Ash / DD é o meu favorito.