onde e é log distribuído normalmente

Eu estou tentando calcular a expectativa para arbitrário (para a expectativa é infinita) se for normalmente distribuído, ou seja, .

E [e^{c X}]

$E[e^{cX}]$

c < 0

$c<0$

c > 0

$c>0$

X

$X$

\log (X) \sim N (μ, σ)

$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Minha idéia era escrever a expectativa como uma integral, mas não vi como proceder:

E [e^{c X}] = \frac{1}{\sqrt{2 σ π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \exp (c x - \frac{(\log x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d x

$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$

Eu também tentei a fórmula Itô (a tarefa real é encontrar onde é um movimento browniano geométrico, mas isso se reduz ao problema acima porque estamos olhando para um processo de Markov) , mas isso também não parecia muito promissor. Alguém pode me ajudar? $E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$ $X$

— Elias Strehle
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— Alexis

Isso existe apenas como uma série de poder formal que não tem expressão de forma fechada.

— whuber

Muito obrigado! Embora não seja o que eu esperava, também prova que meu professor está errado. E isso é uma realização do seu próprio ;-)

— Elias Strehle

O que você deseja é a função geradora de momento de uma variável lognormal, que é conhecida por ser um problema difícil. Como alternativa, essa é a transformação de Laplace, que é sua expressão com substituído por . Você deve dar uma olhada em https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution, que possui algumas informações úteis. $c$ $-c$

O artigo "Na transformação de Laplace da distribuição lognormal", de Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen e Leonardo Rojas-Nandayapa, fornece a seguinte aproximação, que eles investigam em detalhes. Seja normal do log com parâmetros , o que significa que com . A transformação de Laplace é que Então consideramos a transformada de Laplace seguida, eles fornecem a aproximação para : $X$ $(\mu, \sigma^2)$ $X=e^Y$ $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

E (\exp (- θ e^{y}) = e^{- θ μ} E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

Y_{0} \sim N (0, σ^{2})

$Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$

L (θ) = E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

L (θ)

$L(\theta)$

\frac{1}{\sqrt{1 + W (θ σ^{2})}} \exp {- \frac{1}{2 σ^{2}} W (θ σ^{2})^{2} - \frac{1}{σ^{2}} W (θ σ^{2})}

$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$ que não é negativo. Aqui é a função Lambert W, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Em seguida, o artigo analisa a qualidade dessa aproximação e a compara com aproximações mais antigas).

θ

$\theta$

W

$W$

— kjetil b halvorsen
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