Como usar betas de regressão logística + dados brutos para obter probabilidades

Eu tenho um modelo montado (da literatura). Eu também tenho os dados brutos para as variáveis ​​preditivas.

Qual é a equação que devo usar para obter probabilidades? Basicamente, como combinar dados brutos e coeficientes para obter probabilidades?

Aqui está a resposta do pesquisador aplicado (usando o pacote estatístico R).

Primeiro, vamos criar alguns dados, ou seja, estou simulando dados para um simples de modelo de regressão logística bivariada :$log(\frac{p}{1-p})=\beta_0 + \beta_1 \cdot x$

> set.seed(3124)
> 
> ## Formula for converting logit to probabilities 
> ## Source: http://www.statgun.com/tutorials/logistic-regression.html
> logit2prop <- function(l){exp(l)/(1+exp(l))}
> 
> ## Make up some data
> y <- rbinom(100, 1, 0.2)
> x <- rbinom(100, 1, 0.5)

O preditor xé uma variável dicotômica:

> x
  [1] 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 
 [48] 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0
 [95] 1 1 1 1 1 0

Segundo, estime a interceptação ( ) e a inclinação ( ). Como você pode ver, a interceptação é e a inclinação é .$\beta_0$$\beta_1$$\beta_0 = -0.8690$$\beta_1 = -1.0769$

> ## Run the model
> summary(glm.mod <- glm(y ~ x, family = "binomial"))

[...]

    Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)   
(Intercept)  -0.8690     0.3304  -2.630  0.00854 **
x            -1.0769     0.5220  -2.063  0.03910 * 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

[...]

Terceiro, R, como a maioria dos pacotes estatísticos, pode calcular os valores ajustados, ou seja, as probabilidades. Vou usar esses valores como referência.

> ## Save the fitted values
> glm.fitted <- fitted(glm.mod)

Quarto, essa etapa se refere diretamente à sua pergunta: temos os dados brutos (aqui: ) e os coeficientes ( e ). Agora, vamos calcular os logits e salvar esses valores ajustados em :$x$$\beta_0$$\beta_1$glm.rcdm

> ## "Raw data + coefficients" method (RDCM)
## logit = -0.8690 + (-1.0769) * x
glm.rdcm <- -0.8690 + (-1.0769)*x

O passo final é uma comparação dos valores ajustados com base na fittedfunção de R ( glm.fitted) e na minha abordagem "artesanal" ( logit2prop.glm.rdcm). Minha própria função logit2prop(consulte a primeira etapa) converte logits em probabilidades:

> ## Compare fitted values and RDCM
> df <- data.frame(glm.fitted, logit2prop(glm.rdcm))
> df[10:25,]
> df[10:25,]
   glm.fitted logit2prop.glm.rdcm.
10  0.1250000            0.1250011
11  0.2954545            0.2954624
12  0.1250000            0.1250011
13  0.2954545            0.2954624
14  0.2954545            0.2954624
15  0.1250000            0.1250011
16  0.1250000            0.1250011
17  0.1250000            0.1250011
18  0.2954545            0.2954624
19  0.1250000            0.1250011
20  0.1250000            0.1250011
21  0.1250000            0.1250011
22  0.1250000            0.1250011
23  0.1250000            0.1250011
24  0.1250000            0.1250011
25  0.2954545            0.2954624

$f: x \mapsto \log \tfrac{x}{1 - x}$$g: x \mapsto \tfrac{\exp x}{1 + \exp x}$

$\pi$

$f(\pi) = \beta_0 + x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 + \ldots$

$\pi$$g$

$\pi = g( \beta_0 + x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 + \ldots)$