Calcular valores de p observados e esperados pela inflação a partir da distribuição uniforme no gráfico QQ

Estou tentando quantificar o grau de inflação (ou seja, qual a melhor forma de os pontos de dados observados se ajustarem ao esperado). Uma maneira é também olhar para o enredo QQ. Mas eu gostaria de calcular algum indicador numérico para inflação - significa que quão bem o observado se encaixa na distribuição uniforme teórica.

insira a descrição da imagem aqui

Dados de exemplo:

# random uniform distribution 
pvalue <- runif(100, min=0, max=1)
# with inflation expected i.e. not uniform distribution  
pvalue1 <- rnorm(100, mean = 0.5, sd=0.1)

probability distributions qq-plot

— rdorlearn
fonte

Para que possamos entender o que você está perguntando, inclua uma definição quantitativa de "inflação" ou "inflamação" [ sic ] nesta questão ou forneça uma explicação mais precisa do que exatamente isso deve medir. Você está tentando quantificar até que ponto uma distribuição empírica univariada se afasta de uma distribuição teórica pré-especificada?

— whuber

Sim, eu gostaria de ter uma medida de quanto a distribuição empírica parte da distribuição univariada pré-especificada. Eu posso julgar pelo QQ em termos qualitativos, mas não quantitativos.

— precisa saber é o seguinte

Existem diferentes maneiras de testar o desvio de qualquer distribuição (uniforme no seu caso):

1) Ensaios não paramétricos:

Você pode usar os testes Kolmogorov-Smirnov para ver a distribuição do valor observado ajustado ao esperado.

R tem ks.testfunção que pode executar o teste de Kolmogorov-Smirnov.

pvalue <- runif(100, min=0, max=1)
ks.test(pvalue, "punif", 0, 1) 

        One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  pvalue
D = 0.0647, p-value = 0.7974
alternative hypothesis: two-sided

pvalue1 <- rnorm (100, 0.5, 0.1)
ks.test(pvalue1, "punif", 0, 1) 
        One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  pvalue1
D = 0.2861, p-value = 1.548e-07
alternative hypothesis: two-sided

(2) Teste de qualidade de ajuste do qui-quadrado

Nesse caso, categorizamos os dados. Observamos as frequências observadas e esperadas em cada célula ou categoria. Para o caso contínuo, os dados podem ser categorizados criando intervalos artificiais (caixas).

   # example 1
    pvalue <- runif(100, min=0, max=1)
    tb.pvalue <- table (cut(pvalue,breaks= seq(0,1,0.1)))
    chisq.test(tb.pvalue, p=rep(0.1, 10))

        Chi-squared test for given probabilities

data:  tb.pvalue
X-squared = 6.4, df = 9, p-value = 0.6993

# example 2
    pvalue1 <- rnorm (100, 0.5, 0.1)
tb.pvalue1 <- table (cut(pvalue1,breaks= seq(0,1,0.1)))
chisq.test(tb.pvalue1, p=rep(0.1, 10))
            Chi-squared test for given probabilities

data:  tb.pvalue1
X-squared = 162, df = 9, p-value < 2.2e-16

(3) Lambda

Se você estiver fazendo um estudo de associação ampla do genoma (GWAS), poderá calcular o fator de inflação genômica , também conhecido como lambda (λ) (também veja ). Esta estatística é popular na comunidade de genética estatística. Por definição, λ é definido como a mediana das estatísticas do teste qui-quadrado resultante dividida pela mediana esperada da distribuição qui-quadrado. A mediana de uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade é 0,4549364. Um valor λ pode ser calculado a partir de escores z, estatísticas de qui-quadrado ou valores de p, dependendo da saída que você possui da análise de associação. Em algum momento, a proporção do valor-p da cauda superior é descartada.

Para valores-p, você pode fazer isso:

set.seed(1234)
pvalue <- runif(1000, min=0, max=1)
chisq <- qchisq(1-pvalue,1)


# For z-scores as association, just square them
    # chisq <- data$z^2
        #For chi-squared values, keep as is
        #chisq <- data$chisq
    lambda = median(chisq)/qchisq(0.5,1)
    lambda 
    [1] 0.9532617

     set.seed(1121)
    pvalue1 <- rnorm (1000, 0.4, 0.1)
    chisq1 <- qchisq(1-pvalue1,1)
    lambda1 = median(chisq1)/qchisq(0.5,1)
    lambda1
    [1] 1.567119

Se os resultados da análise, seus dados seguem a distribuição qui-quadrado normal (sem inflação), o valor λ esperado é 1. Se o valor λ for maior que 1, isso pode ser uma evidência de algum viés sistemático que precisa ser corrigido em sua análise. .

O Lambda também pode ser estimado usando a análise de regressão.

   set.seed(1234)
      pvalue <- runif(1000, min=0, max=1)
    data <- qchisq(pvalue, 1, lower.tail = FALSE)
   data <- sort(data)
   ppoi <- ppoints(data) #Generates the sequence of probability points
   ppoi <- sort(qchisq(ppoi, df = 1, lower.tail = FALSE))
   out <- list()
   s <- summary(lm(data ~ 0 + ppoi))$coeff
       out$estimate <- s[1, 1] # lambda 
   out$se <- s[1, 2]
       # median method
        out$estimate <- median(data, na.rm = TRUE)/qchisq(0.5, 1)

Outro método para calcular lambda está usando 'KS' (otimizando o ajuste da distribuição chi2.1df usando o teste de Kolmogorov-Smirnov).

— John
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