O que se entende pelo termo "família exponencial"? Por que é assim chamado?

Me deparei com o termo família exponencial .

As Bernoulli, Gaussianas e muitas outras distribuições se enquadram nessa família exponencial.

Quais seriam os pontos em comum entre eles?

terminology exponential-family

— subha
fonte

Apenas uma dica rápida: youtu.be/nLKOQfKLUks?list=PLJ_CMbwA6bT-n1W0mgOlYwccZ-j6gBXqE Achei esta palestra de Andrew Ng muito útil para entender o conceito de distribuições familiares exponenciais, como o doce Kool-Aid.

— MJW

Eles são chamados de "família exponencial" porque todos podem ser escritos na forma simples

f_{X} (x | θ) = \exp (η (θ) \cdot T (x) - UMA (θ) + B (x))

$f_X(x|\theta) = \exp \left (\eta(\theta) \cdot T(x) - A(\theta) + B(x) \right )$

Existem outras formas equivalentes que talvez sejam usadas com mais frequência, mas acho que essa forma torna a parte "exponencial" mais clara.

Veja, por exemplo, esta seção da página da Wikipedia na família Exponencial .

$^{[1]}$

$T$ $\theta$

Aqui estão resumidas várias propriedades adicionais que todos compartilham .

$p$

As propriedades compartilhadas tornam possível a padronização do tratamento delas, levando ao amplo uso de modelos lineares generalizados (GLMs).

[1] Koopman, BO, (1936),
"On Distributions Admitting a Sufficient Statistic",
Transactions of the American Mathematics Society , 39 : 3, 399-409.

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte