Como a estatística qui-quadrado do Pearson se aproxima de uma distribuição qui-quadrado

Portanto, se a estatística qui-quadrado de Pearson for fornecida para uma tabela , sua forma será:$1 \times N$

Então isso se aproxima de , a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, à medida que o tamanho da amostra aumenta. n - 1 $\chi_{n-1}^2$$n-1$$N$

O que não entendo é como essa aproximação assintótica funciona. Eu sinto que os 's nos denominadores devem ser substituídos por . Como isso daria a você , para . Mas é claro que isso tem graus de liberdade, não n-1 , então claramente algo mais está acontecendo.s 2 $E_i$ × 2 n =Σ n i = 1 Z 2 i Zi~N(0,1)nn-$\frac{s_i^2}{n_i}$$\chi_n^2 = \sum_{i=1}^nZ_i^2$$Z_i\sim n(0,1)$$n$$n-1$

Vou motivar isso intuitivamente e indicar como isso ocorre no caso especial de dois grupos, supondo que você esteja feliz em aceitar a aproximação normal do binômio.

Espero que isso seja suficiente para você ter uma boa noção de por que funciona da maneira que funciona.

Você está falando sobre o teste qui-quadrado da qualidade do ajuste. Digamos que haja grupos (você o tem como , mas há uma razão pela qual prefiro chamá-lo de ).n $k$$n$$k$

No modelo que está sendo aplicado para essa situação, as contagens , são multinomiais .$O_i$$i=1,2,...,k$

Seja . As contagens estão condicionadas à soma (exceto em algumas situações bastante raras); e há um conjunto pré-especificado de probabilidades para cada categoria, , que somam . N p i , i = 1 , 2 , … , $N=\sum_{i=1}^k O_i$$N$$p_i, i=1, 2, \ldots,k$$1$

Assim como no binômio, há uma aproximação normal assintótica para multinômios - de fato, se você considerar apenas a contagem em uma determinada célula ("nesta categoria" ou não), ela seria binomial. Assim como no binômio, as variações das contagens (assim como suas covariâncias no multinomial) são funções de e ; você não estima uma variação separadamente.$N$$p$

Ou seja, se as contagens esperadas forem suficientemente grandes, o vetor de contagens é aproximadamente normal com a média . No entanto, como as contagens são condicionadas a , a distribuição é degenerada (existe em um hiperplano de dimensão , pois especificar das contagens corrige a remanescente). A matriz de variância-covariância possui entradas diagonais e elementos diagonais desativados , e possui classificação devido à degeneração. N k - 1 k - 1 N p i ( 1 - p i ) - N p i p j k - $E_i=Np_i$$N$$k-1$$k-1$$Np_i(1-p_i)$$-Np_ip_j$$k-1$

Como resultado, para uma célula individual , e você pode escrever . No entanto, os termos são dependentes (correlacionados negativamente), portanto, se você somar os quadrados desses , não terá a (como teria se fossem variáveis ​​padronizadas independentes). Em vez disso, poderíamos potencialmente construir um conjunto de variáveis ​​independentes partir do original, que são independentes e ainda aproximadamente normais (assintoticamente normais). Se somarmos seus quadrados (padronizados), obteríamos a . Existem maneiras de construir esse conjunto dez i = O i - E $\text{Var}(O_i)=Np_i(1-p_i)$ ziχ2kk-1kχ2k-1k-$z_i = \frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i(1-p_i)}}$$z_i$$\chi^2_k$$k-1$$k$$\chi^2_{k-1}$$k-1$ variáveis ​​explicitamente, mas, felizmente, existe um atalho muito elegante que evita uma quantidade substancial de esforço e produz o mesmo resultado (o mesmo valor da estatística) como se tivéssemos enfrentado o problema.

Considere, por simplicidade, uma qualidade de ajuste com duas categorias (que agora é binomial). A probabilidade de estar na primeira célula é , e na segunda célula é . Existem observações na primeira célula e na segunda célula.p 2 = 1 - p X = O 1 N - X = O $p_1=p$$p_2=1-p$$X = O_1$$N-X=O_2$

A primeira contagem de células observada, é assintoticamente . Podemos padronizá-lo como . Então é aproximadamente (assintoticamente ).N ( N p , N p ( 1 - p ) ) z = X - N $X$$\text{N}(Np,Np(1-p))$ z2=(X-Np)$z=\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}$ ∼χ 2 1 ∼χ 2 $z^2 = \frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$$\sim \chi^2_1$$\sim \chi^2_1$

Notar que

$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} = \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[(N-X)-(N-Np)]^2}{N(1-p)}= \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[X-Np]^2}{N(1-p)}=(X-Np)^2[\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)}]$ .

Mas

$\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)} =\frac{Np+N(1-p)}{Np.N(1-p)} = \frac{1}{Np(1-p)}$ .

Então que é começamos com - que assintoticamente será uma variável aleatória . A dependência entre as duas células é tal que, ao mergulharmos por vez de , compensamos exatamente a dependência entre as duas e obtemos a variável aleatória quadrada-de-uma-aproximadamente-normal original. z2χ 2 1 EiEi(1-pi$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} =\frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$$z^2$$\chi^2_1$$E_i$$E_i(1-p_i)$

O mesmo tipo de dependência-soma é pela mesma abordagem quando há mais de duas categorias - somando o vez de em todos os termos, você compensa exatamente o efeito da dependência e obtém uma soma equivalente a uma soma dos normais independentes . (Oi-Ei)$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ kk-$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i(1-p_i)}$$k$$k-1$

Existem várias maneiras de mostrar que a estatística tem uma distribuição que assintoticamente para maior (é abordada em alguns cursos de estatística de graduação e pode ser encontrada em vários textos de nível de graduação), mas não quero levar você muito além do nível sugerido pela sua pergunta. De fato, é fácil encontrar derivações em notas na internet, por exemplo, existem duas derivações diferentes no espaço de duas páginas aqui$\chi^2_{k-1}$$k$

O manuscrito de uma página http://sites.stat.psu.edu/~dhunter/asymp/lectures/p175to184.pdf referido pelo usuário @Glen_b finalmente mostra que a estatística pode ser reescrita como Hotelling com classificação de covariância = (ver eq. 9.6). Podemos então invocar um resultado clássico de SJ Sepanski (1994) para obter sua distribuição assintótica como um qui-quadrado com graus de liberdade.$T^2$$k-1$$k-1$