Como desenvolver intuição para probabilidade condicional?

Nas palestras em vídeo do curso Statistics 110: Probability, de Harvard, que podem ser encontradas no iTunes e no YouTube, eu encontrei esse problema. Eu tentei resumir aqui:

Suponha que recebamos uma mão aleatória de duas cartas de um baralho padrão.

1. Qual é a probabilidade de ambas as cartas serem ases, pois temos pelo menos um ás?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Uma vez que ter pelo menos um ace está implícito se você tiver ambos os aces, o cruzamento pode ser reduzido a apenas $P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Isto é então apenas

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Qual é a probabilidade de ambas as cartas serem ases, dado que temos o ás de espadas?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Agora, em algum lugar ao longo desses exemplos, eu me perdi ...

O último é obviamente o mesmo que , o que faz muito sentido (para mim) que essa seria a resposta. Se lhe disserem que você tem o ás de (digamos) espadas, sabe que existemmais3ases e51mais cartas.$\frac{3}{51}$$3$$51$

Mas no exemplo anterior, a matemática parece boa (e acredito que o professor não daria esse exemplo se estivesse incorreto ...), mas não consigo entender isso.

Como obtenho alguma intuição para esse problema?

Para ajudar a intuição, considere visualizar dois eventos (conjuntos de resultados):

1. O evento de condicionamento, que é a informação fornecida.

2. O evento condicionado, cuja probabilidade você gostaria de encontrar.

A probabilidade condicional é encontrada dividindo a chance do segundo pela chance do primeiro.

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tem $52 \times 51$maneiras igualmente prováveis ​​de distribuir duas cartas aleatoriamente. Uma maneira conveniente de visualizar essas transações é colocá-las em uma tabela com linhas (digamos) designando a primeira carta distribuída e colunas a segunda carta da transação. Aqui está uma parte desta tabela, com elipses ($\cdots$) designando as peças ausentes. Observe que, como os dois cartões não podem ser os mesmos, não existem entradas ao longo da diagonal principal da tabela. As linhas e colunas são ordenadas de ases até reis:

As perguntas se concentram em ases. A informação "temos pelo menos um ás" localiza o par nas quatro primeiras linhas ou nas quatro primeiras colunas. Em nossa mente, podemos visualizar isso esquematicamente, colorindo essas linhas e colunas. Eu os pintei de vermelho, mas onde os dois ases aparecem, eu os pintei de preto:

tem $2\times 6 = 12$ pares de todos os ases e $2\times (4\times 48) = 384$ outros pares com pelo menos um ás, para um total de $12+384=396$pares nos quais você está condicionando, conforme representado pelas áreas vermelha e preta. Como todos esses pares são igualmente prováveis, a chance do primeiro é

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

É a fração preta da região vermelha + preta.

A segunda pergunta afirma "nós temos o ás de espadas". Isso corresponde apenas à primeira linha e coluna:

Agora existem apenas $2\times 3 = 6$ esses pares com dois ases e $2\times 48=96$ outros pares com o ás de espadas, num total de $96+6 = 102$esses pares. Raciocínio exatamente como antes, a chance de dois ases é

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Novamente, é a fração preta da região vermelha + preta.

Para referência, a última figura inclui a anterior mostrada em rosa e cinza. A comparação dessas regiões revela o que aconteceu: passando da primeira pergunta para a segunda, o número de pares no evento de condicionamento (rosa) caiu para cerca de um quarto de sua contagem original (vermelho), enquanto o número de pares em questão caiu por apenas metade (do cinza ao preto,$12$ para $6$)

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Eu achei essas figuras esquemáticas úteis mesmo - talvez especialmente - ao tentar entender conceitos mais complicados de probabilidade, como filtrações de álgebras sigma .

Uma maneira diferente de configurar um problema que leva ao segundo cálculo é o seguinte:

Você compra duas cartas do baralho. Qual é a probabilidade de dois ases, dado que a primeira carta que você comprou foi um ás?

Esse fraseado facilita o contraste com o primeiro cálculo. A chance subjacente de ter escolhido dois ases não muda, mas a condição de ter a primeira carta como um ás é mais restritiva do que a condição se for um ás. Isso significa que, no cálculo da probabilidade condicional, a combinação desejada deve ocorrer entre menos opções, portanto, existe uma probabilidade maior.

As duas frases diferentes (ás de espadas versus primeira carta como ás) são semelhantes, porque quebram a simetria / permutabilidade entre os ases: o naipe ou a ordem não podem ser arbitrariamente trocados.

No começo, era difícil para mim ter alguma intuição.

Uma idéia é levar o problema ao limite. Nesse caso, como Steve observou, um problema idêntico é: meu vizinho tem dois filhos - você sabe que um deles é um menino. Qual é a probabilidade de ela ter dois filhos.

A primeira ideia é: ok, eu tenho um menino, a outra criança tem 1/2 chance de ser menina e 1/2 para ser menino, mas, neste caso, você não está recebendo todas as informações que lhe dão esse fato ( pelo menos você tem um menino), porque está implícito que esse menino pode ser o filho mais novo, sendo a menina mais velha ou vice-versa ou ambos são meninos, o que significa que apenas um dos três resultados possíveis é favorável.

Como eu disse, é mais fácil levar o problema ao limite ...

Caso1: Caso abstrato idêntico a "nós temos um ás" -> Nesse caso, imagina Meu vizinho não tem 2 filhos, mas 27, e você sabe que 26 são meninos, a probabilidade disso é quase nula. Nesse caso, fica claro que essas informações fornecem muitas informações de que, falando probabilisticamente, a criança restante é uma menina. Para ser mais preciso, você terá um caso com 27 meninos, digamos uma tupla (b, b, b, b, b, b ..., b) e 27 casos com uma menina e 26 meninos (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), então a probabilidade de todos os meninos é de 1/27, em geral será 1 / (N + 1)

case2: Informação concreta. Isso seria idêntico a "Temos o ás de espadas" ou "temos a primeira carta sendo um ás". Nesse caso, imagine que nosso vizinho tenha 26 filhos, todos meninos, e esteja grávida do dia 27. Qual é a probabilidade de o dia 27 ser um menino?

No case2, tenho certeza de que todos podemos ter uma idéia da intuição necessária para esse tipo de problema de probabilidades condicionais não tão óbvias.

Se você quer ficar rico, deve apostar no primeiro caso, com 26 meninos e 27, porque a falta de informações concretas significa muita energia probabilística na criança que permanece, enquanto no segundo caso a entropia é enorme, temos Não há informações para saber onde apostar.

Espero que seja útil

Como se pode dizer que a resposta é 3/51 sem calcular?

Se você aceitou o ás de espadas em primeiro lugar. Eu sei quais cartões estão no pacote. Portanto, ainda existem 3 ases em 51 cartas. portanto, para o segundo, você tem 3/51 chances de ter dois ases.

E como entender a diferença entre os dois cenários intuitivamente?

É porque "Ter um ás" está incluído em "Ter dois ases". Mas "Ter o ás de espadas" não está incluído em "Ter dois ases". Essa é a diferença.

De fato, se você tem dois ás, você tem um, mas talvez não o ás de espadas. Portanto, não é a mesma probabilidade.

Esta resposta foi para outro post que foi movido para este.