A correlação diferente de zero implica dependência?

17

Sabemos que a correlação zero não implica independência. Estou interessado em saber se uma correlação diferente de zero implica dependência - ou seja, se para algumas variáveis aleatórias e , podemos dizer em geral que ? $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ $X$ $Y$ $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

correlation independence

— Comp_Warrior
fonte

13

Sim, porque

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow Cov (X, Y) \neq 0

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$

\Rightarrow E (X Y) - E (X) E (Y) \neq 0 0

$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y \neq 0 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y [f_{X, Y} (x, y) - f_{X} (x) f_{Y} (y)] d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$

o que seria impossível se . então $f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow \exists {x, y} : f_{X, Y} (x, y) \neq f_{X} (x) f_{Y} (y)

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Pergunta: o que acontece com variáveis aleatórias que não têm densidades?

— Alecos Papadopoulos
fonte

1

Alecos, eu tenho uma pergunta idiota. O que a flecha elegante significa, por exemplo, na linha 1? Imagino algo como "implicar", mas não tenho certeza.

— Sycorax diz Restabelecer Monica

2

@ user777 Você quer dizer ? De fato, significa "implica".

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Alecos Papadopoulos

O motivo para usar apenas a seta de implicação em argumentos informais: a seta de implicação é esquerda ou direita associativa?

— precisa saber é

\impliesproduz que parece melhor do que qual produz .

⟹

$\implies$ \rightarow

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Dilip Sarwate

14

Seja e denotem variáveis aleatórias tais que e sejam finitos. Então, , e são finitos. $X$ $Y$ $E[X^2]$ $E[Y^2]$ $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$

Restringindo nossa atenção a essas variáveis aleatórias, deixe denotar a afirmação de que e são variáveis aleatórias independentes e a afirmação de que e são variáveis aleatórias não correlacionadas , ou seja, . Então sabemos que implica , ou seja, variáveis aleatórias independentes são variáveis aleatórias não correlacionadas. De fato, uma definição $A$ $X$ $Y$ $B$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $A$ $B$ das variáveis aleatórias independentes é que é igual a para todas as funções mensuráveis e ). Isso geralmente é expresso como $E[g(X)h(Y)]$ $E[g(X)]E[h(Y)]$ $g(\cdot)$ $h(\cdot)$ Mas

A ⟹ B .

$A \implies B.$

é logicamente equivalente a

A ⟹ B

$A \implies B$

, isto é,

\neg B ⟹ \neg A

$\neg B \implies \neg A$

variáveis aleatórias correlacionadas são variáveis aleatórias dependentes .

Se , ou não são finitos ou não existem, não é possível dizer se e não estão correlacionados ou não no significado clássico de variáveis aleatórias não correlacionadas, sendo aquelas para qual . Por exemplo, e podem ser variáveis aleatórias independentes de Cauchy (para as quais a média não existe $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $X$ $Y$ ) São variáveis aleatórias não correlacionadas no sentido clássico?

— Dilip Sarwate
fonte

3

O bom dessa resposta é que ela se aplica se as variáveis aleatórias em questão admitem ou não uma função de densidade, em oposição a outras respostas neste segmento. Isso é verdade devido ao fato de que as expectativas podem ser definidas com integrais Stieltjes usando o CDF, sem mencionar a densidade.

— ahfoss 27/08/14

1

Aqui uma prova puramente lógica. Se então necessariamente , como os dois são equivalentes. Assim, se então . Agora substitua por independência e por correlação. $A\rightarrow B$ $\neg B \rightarrow \neg A$ $\neg B$ $\neg A$ $A$ $B$

Pense em uma declaração "se o vulcão entrar em erupção, haverá danos". Agora pense em um caso em que não há danos. Claramente, um vulcão não entrou em erupção ou teríamos uma condtradição.

Da mesma forma, pensar em um caso "Se independente , então não correlacionada ". Agora, considere o caso em que estão correlacionados. Claramente, eles não podem ser independentes, pois, se fossem, também seriam correlacionados. Conclua assim a dependência. $X,Y$ $X,Y$ $X,Y$

— Tony
fonte

Se você ler minha resposta com atenção, verá que eu também usei o argumento que você formulou em sua resposta, a saber

é o mesmo que

A ⟹ B

$A \implies B$

.

\neq B ⟹ \neg A

$\neq B \implies \neg A$

— precisa

@DilipSarwate Editado para refletir isso.

— 24417 Tony