Determinante da informação de Fisher

(Postei uma pergunta semelhante no math.se. )

Na geometria da informação, o determinante da matriz de informações de Fisher é uma forma de volume natural em um coletor estatístico, portanto, possui uma ótima interpretação geométrica. O fato de aparecer na definição de Jeffreys anterior, por exemplo, está ligado à sua invariância sob reparametrizações, que são (imho) uma propriedade geométrica.

Mas o que é isso determinante nas estatísticas ? Mede algo significativo? (Por exemplo, eu diria que, se for zero, os parâmetros não serão independentes. Isso vai além?)

Além disso, existe algum formulário fechado para computá-lo, pelo menos em alguns casos "fáceis"?

Em muitos exemplos, o inverso da matriz de informações de fisher é a matriz de covariância das estimativas de parâmetros $\hat{\beta}$, exatamente ou aproximadamente. Muitas vezes, fornece essa matriz de covariância assintoticamente. O determinante de uma matriz de covariância é freqüentemente chamado de variação generalizada.

Portanto, o determinante da matriz de informações de Fisher é o inverso dessa variação generalizada. Isso pode ser usado no projeto experimental para encontrar experimentos ideais (para estimativa de parâmetros). Nesse contexto, isso é chamado de otimalidade-D, que possui uma enorme literatura. então, procure no Google por "design experimental D-ótimo". Na prática, geralmente é mais fácil maximizar o determinante da matriz de covariância inversa, mas isso é obviamente a mesma coisa que minimizar o determinante de sua inversa.

Existem também muitos posts neste site, mas poucos têm boas respostas. Aqui está um: Projeto experimental (fatorial) que não explora a variação