Por que as pessoas geralmente otimizam o determinante de

Dizer que tenho um vector aleatório e Σ ≠ σ 2 I . Ou seja, os elementos de Y (dado X β ) estão correlacionados.$Y\sim N(X\beta,\Sigma)$$\Sigma\neq\sigma^2 I$$Y$$X\beta$

O estimador natural de é ( X ' Σ - 1 X ) - 1 X ' Σ - um Y , e var ( β ) = ( X ' Σ - 1 X ) - $\beta$$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1}Y$$\text{var}(\hat{\beta})=(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}$

Em um contexto de design, o experimentador pode mexer com o desenho que irá resultar em diferentes e Σ assim diferente var ( β ) . Para escolher um projeto ideal, vejo que as pessoas muitas vezes tentam minimiza o determinante de ( X ' Σ - 1 X ) - 1 , o que é a intuição por trás disso?$X$$\Sigma$$\text{var}(\hat{\beta})$$(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$

Por que não, digamos, minimiza a soma de seus elementos?

$(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$$(X'\Sigma^{-1} X)$sob transformações lineares das variáveis ​​regressoras, o que é uma grande vantagem prática. Invariância significa que a otimização não é influenciada por itens como a escolha das unidades de medida (como m ou km ). Com critérios de otimização não invariantes, o resultado pode depender de coisas irrelevantes, como a escolha das unidades de medida.

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