Derivando a densidade posterior para uma probabilidade lognormal e prévia de Jeffreys


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A função de probabilidade de uma distribuição lognormal é:

f(x;μ,σ)i1n1σxiexp((lnxiμ)22σ2)

e o Prior de Jeffreys é:

p(μ,σ)1σ2

então, combinar os dois dá:

f(μ,σ2|x)=i1n1σxiexp((lnxiμ)22σ2)σ2

Eu sei que a densidade posterior para é Gamma inversa distribuída, então eu tenho que calcularσ2

f(σ2|x)=f(μ,σ2|x)dμ

mas não tenho idéia por onde começar aqui.

Após o comentário de Glen_b, eu dou uma chance:

f(μ,σ2|x)=i1n1σxiexp((lnxiμ)22σ2)σ2

=σn2i=1n1xiexp(12σ2i=1n(lnxiμ))

mas não consigo ver isso indo a lugar algum.

Outra idéia que tive foi definir , então é distribuído normalmente. assimyyEu=em(xEu)y

f(μ,σ2|y)=[i=1n12π1σexp(12σ2(yiμ)2)]1σ2

=σ-n-2exp(-1σ-n-2exp(-12σ2Eu=1n(yEu-y¯)2+n(y¯-μ)2) =σ-n-2exp(-1=σ-n-2exp(-12σ2((n-1)s2+n(y¯-μ)2)) =σ-n-2exp(-12σ2((n-1)s2)exp(n(y¯-μ)2))

depois integre:

σ-n-2exp(-12σ2((n-1)s2)exp(-12σ2n(y¯-μ)2))dμ

pelo método que você sugeriu que eu recebesse:

exp(-12σ2n(y¯-μ)2))dμ=2πσ2n

Assim:

(σ2)-(n+1)/2exp(-12σ2((n-1)s2)

que é realmente Gamma inverso distribuído.

Mas não tenho certeza se isso está correto, também é o mesmo resultado que recebo para uma probabilidade normal.

Encontrei isso na literatura (sem mais explicações):

insira a descrição da imagem aqui


Na sua primeira linha de matemática (a probabilidade), não deixe cair o termo na constante. σ
Glen_b -Reinstala Monica

2
É Sir Harold Jeffreys, então Jeffreys prior, Jeffreys 'prior e Jeffreys's prior são todos defensáveis, mas Jeffrey's está errado. Ele preferiu a última forma.
Nick Cox

Agora, quando você combinar os dois, manter esses termos no.σ
Glen_b -Reinstate Monica

O que você encontrou na literatura é posterior a . θ=(μ,σ)
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:


3

Observe que - considerado como uma função em - o que você tem é proporcional a uma densidade normal.μ

Portanto, a etapa 1 é completar o quadrado em que está no expoente, retire a frente da integral todas as constantes supérfluas e multiplique o termo na integral pela constante necessária para integrá-la a 1. Em seguida, divida em frente da integral pela mesma constante (para não alterar o valor da expressão geral).μ

Como você tem uma densidade na integral, substitua o termo na integral por 1.

Você fica com uma função de (aquela que substituiu por um valor semelhante a uma estimativa).μσμ

Agora veja a densidade para uma gama inversa aqui :

f(x;α,β)=βαΓ(α)x-α-1exp(-βx)

(neste caso, usando uma parametrização de escala de forma).

Supondo que você tenha o correto anterior (eu não verifiquei isso) -

você procura uma densidade posterior para . Observe que sua função após a integração pode ser escrita no formato .σ2c(σ2)-alguma coisaexp(-algo mais/σ2)

Então você tem uma expressão proporcional a uma densidade gama inversa em . (Como deve ser uma densidade, forneça a constante necessária para integrá-la a 1.)σ2


Você realmente não precisa alterar para . São dados observados para que sejam apenas constantes. É que é a variável. Você completou a praça. Observe que há um termo em e um não em . O próximo passo de onde você já está na minha resposta. em(x)yμμμ
Glen_b -Reinstala Monica

Eu atualizei meu post novamente (eu mantive a y para simplificar)
spore234

como obtenho o resultado na literatura?
spore234

Através praticamente a mesma abordagem que acima, mas você não integrar fora, você apenas retirar os termos. μ
Glen_b -Reinstala Monica
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