Qual distribuição resulta na adição de duas distribuições Pareto

Gostaria de saber qual distribuição resulta em adicionar duas (ou mais) distribuições Pareto tipo um do formato . Experimentalmente, parece uma lei de poder de dois modos, assintótica à diferença de alfas. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
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A última observação faz parecer que você contempla os alfas que diferem entre as distribuições. Você vai corrigir os domínios (também conhecidos como "escalas") das distribuições ou não? Um cálculo rápido do Mathematica indica que o PDF inclui, como um de seus termos, o produto de e a diferença de uma distribuição Beta em e uma distribuição Beta em . É unimodal para . Esse resultado não seria válido para e maiores ; portanto, existem limites para os possíveis valores dos parâmetros nos quais você está interessado?

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

O artigo a seguir propõe uma expansão do CDF e uma maneira de aproximá-

— RUser4512

Editado para ser um pouco mais legível. Distribuições adicionadas por convolução. A distribuição de Pareto é definida por partes como para 0 para . A convolução de duas funções de Pareto e é: $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

onde e 0 para , que apesar de um campo complexo dentro desse termo, são reais avaliados fora dele. é Hypergeometric2F1Regularizado aqui no código do Mathematica. Nem todas as opções para os parâmetros produzirão funções de densidade com valor positivo. Aqui está um exemplo de quando eles são positivos. Para as duas distribuições de Pareto, deixe a = 2, b = 3, j = 0,1 e k = 0,3. e seus gráficos estão em azul para a função {k, a} e em laranja para a função {j, b}. Sua convolução é então graficamente que, quando as caudas são examinadas, parece onde o verde é a convolução. $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

Com a sua pergunta, você pode estar se perguntando sobre a adição comum de duas distribuições de Pareto. Nesse caso, a área sob a curva é duas, portanto, a soma não é uma função de densidade, que precisa ter uma área sob a curva de uma. No entanto, se essa é a pergunta, então para simplifica para , que tem um limite de somente se e for 0 ou infinito em todos os outros casos. Em outras palavras, a soma aritmética de duas distribuições de Pareto só tem caudas que são a diferença entre e quando $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ , e a soma aritmética não é uma função de densidade e a soma teria que ser escalada para duas probabilidades, para ser uma função de densidade. Embora ocorra adição aritmética de funções de densidade para definir outra função de densidade, isso é incomum. Um exemplo disso ocorre na farmacocinética, em que a soma de duas ou mais distribuições exponenciais é usada para definir uma função de densidade. Para resumir uma longa história, isso não é algo que eu recomendaria. $1=p+q$

Espero que isso responda sua pergunta. Caso contrário, faça objeções à minha resposta ou adicione mais algumas informações.

— Carl
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@gung Obrigado pela limpeza. Existe alguma etiqueta exigida de mim para isso? Alguém recebe reputação atribuída à limpeza ou apenas boa vontade?

— 196 Carl Carl

De nada, @Carl. Se sua reputação for <2k (?), Quando você sugere uma edição e é aprovada, recebe +2. Depois disso, as edições não oferecem nada para você. Eu não preciso do representante, então não há problema. Sua resposta aqui é boa (+1), eu apenas a editei para facilitar a leitura.

— gung - Restabelece Monica