Testando a estabilidade em uma série temporal

Existe um método padrão (ou melhor) para testar quando uma determinada série temporal se estabilizou?

Alguma motivação

I têm um sistema dinâmico estocástico que gera um valor em cada passo de tempo t ∈ N . Este sistema tem algum comportamento transitório até o passo t ∗ e depois se estabiliza em torno de algum valor médio x ∗ com algum erro. Nenhum de t ∗ , x ∗ ou o erro são conhecidos por mim. Estou disposto a fazer algumas suposições (como erro gaussiano em torno de x $x_t$$t \in \mathbb{N}$$t^*$$x^*$$t^*$$x^*$$x^*$por exemplo), mas quanto menos premissas a priori eu precisar, melhor. A única coisa que tenho certeza é que existe apenas um ponto estável para o qual o sistema converge e as flutuações em torno do ponto estável são muito menores que as flutuações durante o período transitório. O processo também é monotônico, posso assumir que começa perto de 0 e sobe em direção a x ∗ (talvez superando um pouco antes de estabilizar em torno de x ∗ ).$x_0$$0$$x^*$$x^*$

As dados estarão vindo de uma simulação, e eu preciso do teste de estabilidade como condição de parada para minha simulação (desde que eu estou interessado apenas no período transitório).$x_t$

Pergunta precisa

Dado apenas acesso ao valor do tempo para algum T finito , existe um método para dizer com razoável precisão que o sistema dinâmico estocástico se estabilizou em algum ponto x ∗ ? Pontos de bônus se o teste também retornar x ∗ , t ∗ e o erro em torno de x ∗ . No entanto, isso não é essencial, pois existem maneiras simples de descobrir isso após o término da simulação.$x_0 ... x_T$$T$$x^*$$x^*$$t^*$$x^*$

Abordagem ingênua

A abordagem ingênua que surge pela primeira vez em minha mente (que eu vi usada como condições de vitória para algumas redes neurais, por exemplo) é escolher os parâmetros e E , se, nos últimos timestados T, não houver dois pontos x e x ' Tal que x ' - x > E então concluímos que estabilizamos. Essa abordagem é fácil, mas não muito rigorosa. Isso também me força a adivinhar quais devem ser os bons valores de T e $T$$E$$T$$x$$x'$$x' - x > E$$T$$E$

Parece que deveria haver uma abordagem melhor que analise algumas etapas no passado (ou talvez desconte dados antigos), calcule o erro padrão desses dados e teste se há outros números de etapas (ou outra esquema de descontos) as séries temporais não estiveram fora desse intervalo de erros. Incluí uma estratégia um pouco menos ingênua, mas ainda assim simples, como resposta .

Qualquer ajuda ou referência a técnicas padrão são apreciadas.

Notas

Também cruzei esta questão como está no MetaOptimize e em uma descrição com mais simulação para a Ciência da Computação .

Esta breve observação está longe de ser uma resposta completa, apenas algumas sugestões:

• se você tiver dois períodos de tempo em que o comportamento é diferente, por diferente, quero dizer diferenças nos parâmetros do modelo (não relevantes nessa situação específica), média ou variação ou qualquer outra característica esperada do objeto de série temporal ( no seu caso ), você pode tentar qualquer método que calcule o tempo (intervalo) da alteração estrutural (ou epidêmica) .$x_t$
• Em R existe uma strucchange biblioteca para mudanças estruturais em modelos de regressão linear. Embora seja usado principalmente para testar e monitorar alterações nos parâmetros da regressão linear, algumas estatísticas podem ser usadas para alterações estruturais gerais em séries temporais.

Enquanto eu leio sua pergunta "e as flutuações em torno do ponto estável são muito menores do que as flutuações durante o período transitório", o que recebo é um pedido para detectar quando e se a variação dos erros mudou e se sim, quando! Se esse for o seu objetivo, considere revisar o trabalho ou R. Tsay "discrepantes, mudanças de nível e mudanças de variação nas séries temporais", Journal of Forecasting Vol 7, 1-20 (1988). Eu fiz um trabalho considerável nessa área e considero muito produtivo produzir uma boa análise. Outras abordagens (ols / análise de regressão linear, por exemplo) que assumem observações independentes e sem discrepâncias de pulso e / ou sem alterações de nível ou tendências de hora local e parâmetros invariantes no tempo são insuficientes na minha opinião.

Eu estava pensando mais sobre a questão e pensei em dar uma ligeira melhoria na abordagem ingênua como resposta, na esperança de que as pessoas saibam mais idéias na direção. Também nos permite eliminar a necessidade de saber o tamanho das flutuações.

$(T,\alpha)$$y_t = x_{t + 1} - x_{t}$$t$$t + 1$$x^*$$y$

$T$$y_t$$\alpha$$\mu$$\alpha$$E_\mu$$\sigma$$E_\sigma$$0 \in (\mu - E_\mu, \mu + E_\mu)$$y_t$$\sigma$$1$$\alpha$

$T$

Você pode considerar testar para trás (com uma janela rolante) para a co-integração entre xe a média de longo prazo.

Quando você xestá se esquivando da média, espero que o teste Augmented Dickey Fuller em janela, ou qualquer teste de co-integração que você escolher, lhe diga que as duas séries são co-integradas. Depois de entrar no período de transição, onde as duas séries se afastam, espero que seu teste diga que as séries em janelas não são co-integradas.

O problema com esse esquema é que é mais difícil detectar a co-integração em uma janela menor. E uma janela muito grande, se incluir apenas um pequeno segmento do período de transição, informará que a série em janelas é co-integrada quando não deveria. E, como você pode imaginar, não há como saber antecipadamente qual pode ser o tamanho "certo" da janela.

Tudo o que posso dizer é que você terá que brincar com isso para ver se obtém resultados razoáveis.

$m_{t+1} - m_{t}$

Além da solução óbvia do Kalman Filter, você pode usar decomposições de wavelets e obter um espectro de potência localizado em tempo e frequência. Isso satisfaz o seu desejo sem suposições, mas infelizmente não fornece um teste formal de quando o sistema é instalado. Mas, para uma aplicação prática, tudo bem; basta olhar para o momento em que a energia nas altas frequências morre e quando os coeficientes das ondas de pai se estabilizam.