O algoritmo de Gibbs Sampling garante equilíbrio detalhado?

Tenho como autoridade suprema ¹ que Gibbs Sampling é um caso especial do algoritmo Metropolis-Hastings para amostragem de Markov Chain Monte Carlo. O algoritmo MH sempre fornece uma probabilidade de transição com a propriedade detalhada do balanço; Espero que Gibbs também deva. Então, onde, no seguinte caso simples, errei?

Para distribuição de destino em duas variáveis ​​discretas (para simplificar), as distribuições condicionais completas são: q 1 ( x ; y $\pi(x, y)$

$$\begin{align} q_1 (x;y) & =\frac{\pi (x,y)}{\sum_z \pi (z,y)} \\ q_2 (y;x) & =\frac{\pi (x,y)}{\sum_z \pi (x,z)} \end{align}$$

Pelo que entendi Gibbs Sampling, a probabilidade de transição pode ser escrita:

$$Prob\{(y_1, y_2) \to (x_1, x_2)\} = q_1(x_1; y_2) q_2(x_2; x_1)$$

A questão é: mas o mais próximo que posso chegar é π ( y 1 , y 2 ) P r o b { ( y 1 , y 2

$$\pi(y_1,y_2) Prob\{(y_1, y_2) \to (x_1, x_2)\} \overset{?}{=} \pi(x_1,x_2) Prob\{(x_1, x_2) \to (y_1, y_2)\},$$ Isso é sutilmente diferente e não implica em equilíbrio detalhado. Obrigado por qualquer pensamento! $$\begin{align} \pi(y_1,y_2) Prob\{(y_1, y_2) & \to (x_1, x_2)\} \\ & = \pi(y_1, y_2) q_2(x_2; x_1) q_1(x_1; y_2) \\ & = \frac{\pi(x_1, x_2)}{\sum_z \pi(x_1,z)}\frac{\pi(x_1, y_2)}{\sum_z \pi(z, y_2)}\pi (y_1, y_2) \\ & = \pi(x_1, x_2) q_2(y_2; x_1) q_1(y_1; y_2) \end{align}$$

Você tentou mostrar um equilíbrio detalhado para a cadeia de Markov que é obtida considerando-se que uma transição da cadeia de Markov é a 'varredura de Gibbs', na qual você mostra cada componente, por sua vez, a partir de sua distribuição condicional. Para esta cadeia, o saldo detalhado não é satisfeito. O ponto é que cada amostragem de um componente em particular a partir de sua distribuição condicional é uma transição que satisfaz um equilíbrio detalhado. Seria mais preciso dizer que a amostragem de Gibbs é um caso especial de Metropolis-Hastings, um pouco generalizada, onde você alterna entre várias propostas diferentes. Mais detalhes a seguir.

As varreduras não satisfazem o equilíbrio detalhado

$X_1,X_2$

$$\begin{equation} \begin{array}{ccc} & X_2 = 0 & X_2 = 1 \\ X_1 = 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ X_1 = 1 & 0 & \frac{1}{3} \end{array} \end{equation}$$ $X_1$$(0,0)$$(1,1)$$(0,0)$$(1,0)$$(1,1)$$(0,0)$$\frac{1}{4}$

No entanto, essa cadeia ainda possui uma distribuição estacionária correta. O saldo detalhado é uma condição suficiente, mas não necessária, para convergir para a distribuição de destino.

Os movimentos de componentes satisfazem o equilíbrio detalhado

$(x_1,x_2)$$(y_1,y_2)$$x_2 \neq y_2$$x_2 = y_2$

$$\begin{equation} \pi(x_1,x_2) \mathrm{Prob}((x_1,x_2) \rightarrow (y_1,x_2)) = \pi(x_1,x_2)\,p(y_1 \mid X_2 = x_2) = \pi(x_1,x_2) \, \frac{\pi(y_1,x_2)}{\sum_z \pi(z,x_2)} \\ = \pi(y_1,x_2) \, \frac{\pi(x_1,x_2)}{\sum_z \pi(z,x_2)} = \pi(y_1,x_2) \,p(x_1 \mid X_2 = x_2) = \pi(y_1,x_2) \mathrm{Prob}((y_1,x_2) \rightarrow (x_1,x_2)). \end{equation}$$

Como os movimentos em termos de componentes são os movimentos do Metropolis-Hastings?

$1$$(x_1, x_2)$$(y_1, y_2)$

$$\begin{equation} \frac{\pi(y_1,x_2)}{\pi(x_1,x_2)}. \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\mathrm{Prob}((y_1,x_2) \rightarrow (x_1,x_2))}{\mathrm{Prob}((x_1,x_2) \rightarrow (y_1,x_2))} = \frac{\frac{\pi(x_1,x_2)}{\sum_z \pi(z,x_2)}}{\frac{\pi(y_1,x_2)}{\sum_z \pi(z,x_2)}} = \frac{\pi(x_1,x_2)}{\pi(y_1,x_2)}. \end{equation}$$ $1$