Relação entre distribuição gama e qui-quadrado


14

Se em que X i ~ N ( 0 , σ 2 ) , ou seja, todos os X i são variáveis aleatórias normais iid de média zero com as mesmas variações, em seguida, Y ~ Γ ( N

Y=Eu=1NXEu2
XEuN(0 0,σ2)XEu
YΓ(N2,2σ2).

Eu sei que a distribuição qui-quadrado é um caso especial da distribuição gama, mas não poderia derivar a distribuição qui-quadrado para a variável aleatória . Alguma ajuda, por favor?Y

Respostas:


17

Alguma experiência

A distribuição é definida como a distribuição resultante da soma dos quadrados de n variáveis ​​aleatórias independentes N ( 0 , 1 ) , portanto: Se  X 1 , , X nN ( 0 , 1 )  e são independentes, então  Y 1 = n Σ i = 1 X 2 i ~ χ 2 n , onde X ~ Yχn2nN(0 0,1)

If X1,,XnN(0,1) and are independent, then Y1=i=1nXi2χn2,
XYdenota que as variáveis ​​aleatórias e Y têm a mesma distribuição (EDIT: χ 2 n denotará uma distribuição ao quadrado do Chi com n graus de liberdade e uma variável aleatória com essa distribuição ). Agora, o pdf da distribuição χ 2 n é f χ 2 ( x ; n ) = 1XYχn2nχn2 Portanto, de fato adistribuição χ 2 n é um caso particular da distribuição Γ ( p , a ) com pdf f Γ ( x ; a , p ) = 1
fχ2(x;n)=12n2Γ(n2)xn2-1e-x2,para x0 0 (e 0 0 de outra forma).
χn2Γ(p,uma) Agora é claro que χ 2 n ~ Γ ( n
fΓ(x;uma,p)=1umapΓ(p)xp-1e-xuma,para x0 0 (e 0 0 de outra forma).
.χn2Γ(n2,2)

Seu caso

A diferença no seu caso é que você tem variáveis ​​normais com variações comuns σ 21 . Mas uma distribuição semelhante surge nesse caso: Y 2 = n i = 1 X 2 i = σ 2 n i = 1 ( X iXiσ21

Y2=i=1nXi2=σ2i=1n(Xiσ)2σ2χn2,
Yχn2σ2Y2=σ2Y1
fσ2χ2(x;n)=fχ2(xσ2;n)1σ2.
Y2Γ(n2,2σ2)σ2a

Nota

χn2σ21χ12χn2


Boa descrição (+1). Mas eu sou duvidoso quando você diz issoY2σ2χn2, provavelmente deveria ser Y2=σ2você, Onde vocêχn2. E finalmente, fσ2você(x;n)=fχ2(xσ2;n)1σ2.
Kay

Obrigado @kaka. No primeiro ponto, na verdade com a notaçãoσ2χn2 Estou me referindo à variável aleatória que surge quando você multiplica um χn2 variável por σ2, então nós dois estamos dizendo o mesmo ... No segundo ponto, lembre-se de que fχ2(x;n) é a notação que usei para me referir à densidade de um χn2 (o parâmetro naparece como um segundo argumento). Com sua notação, a densidade deσ2χn2 vai ler como fχn2(x;n), o que também é bom, mas você está repetindo o dobro da n.
Epsilone 12/10

Mas na primeira equação você definiu Xn2 como uma distribuição de Eu=1NXEu2.
Kay12

Sim, e na equação para Y2 a XEutem variação σ2, assim XEuσ é como XEuna primeira equação.
Epsilone 12/10

3
χn2 denota a função de distribuição ao quadrado de Chi com ngraus de liberdade e também uma variável aleatória que segue tal distribuição. Talvez seja um abuso de notação, mas o significado deve estar claro. Vou editar a resposta para esclarecê-lo, no entanto.
Epsilone 12/10
Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.