Relação entre distribuição gama e qui-quadrado

Se em que , ou seja, todos os são variáveis aleatórias normais iid de média zero com as mesmas variações, em seguida,

Y = \sum_{Eu = 1}^{N} X_{Eu}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

Eu sei que a distribuição qui-quadrado é um caso especial da distribuição gama, mas não poderia derivar a distribuição qui-quadrado para a variável aleatória . Alguma ajuda, por favor? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— kaka
fonte

Alguma experiência

A distribuição é definida como a distribuição resultante da soma dos quadrados de variáveis aleatórias independentes , portanto: onde $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$ denota que as variáveis aleatórias

têm a mesma distribuição (EDIT: denotará uma distribuição ao quadrado do Chi com graus de liberdade e uma variável aleatória com essa distribuição ). Agora, o pdf da distribuição

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Portanto, de fato adistribuição

é um caso particular da distribuição

com pdf

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, para x \geq 0 0 (e 0 0 de outra forma).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

Agora é claro que

f_{Γ} (x; uma, p) = \frac{1}{{uma}^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{uma}}, para x \geq 0 0 (e 0 0 de outra forma).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Seu caso

A diferença no seu caso é que você tem variáveis normais com variações comuns . Mas uma distribuição semelhante surge nesse caso: $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

Nota

$\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— epsilone
fonte

Boa descrição (+1). Mas eu sou duvidoso quando você diz isso

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$ provavelmente deveria ser

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$ Onde

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$ E finalmente,

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— Kay

Obrigado @kaka. No primeiro ponto, na verdade com a notação

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$ Estou me referindo à variável aleatória que surge quando você multiplica um

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$ variável por

σ^{2}

$\sigma^2$ , então nós dois estamos dizendo o mesmo ... No segundo ponto, lembre-se de que

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$ é a notação que usei para me referir à densidade de um

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$ (o parâmetro

n

$n$ aparece como um segundo argumento). Com sua notação, a densidade de

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$ vai ler como

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$ , o que também é bom, mas você está repetindo o dobro da

n

$n$ .

— Epsilone 12/10

Mas na primeira equação você definiu

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$ como uma distribuição de

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— Kay12

Sim, e na equação para

Y_{2}

$Y_2$ a

X_{i}

$X_i$ tem variação

σ^{2}

$\sigma^2$ , assim

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$ é como

X_{i}

$X_i$ na primeira equação.

— Epsilone 12/10

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ denota a função de distribuição ao quadrado de Chi com

n

$n$ graus de liberdade e também uma variável aleatória que segue tal distribuição. Talvez seja um abuso de notação, mas o significado deve estar claro. Vou editar a resposta para esclarecê-lo, no entanto.

— Epsilone 12/10