Usando o bootstrap para obter a distribuição de amostra do 1º percentil

Eu tenho uma amostra (do tamanho 250) de uma população. Eu não sei a distribuição da população.

A principal questão: quero uma estimativa pontual do ^1º percentual da população e, em seguida, quero um intervalo de confiança de 95% em torno da minha estimativa pontual.

Minha estimativa de pontos será a amostra ^{do primeiro} percentual. Eu denoto isso .$x$

Depois disso, tento construir o intervalo de confiança em torno da estimativa pontual. Gostaria de saber se faz sentido usar o bootstrap aqui. Sou muito inexperiente com o bootstrap, então, desculpe se não conseguir usar a terminologia apropriada etc.

Aqui está como eu tentei fazê-lo. Eu colho 1000 amostras aleatórias com substituição da minha amostra original. Eu obtenho o ^1º percentual de cada um deles. Assim eu tenho 1000 pontos - "o 1 ^st -percentiles". Eu olho para a distribuição empírica desses 1000 pontos. Denoto a média disso . Denoto um "viés" da seguinte maneira: viés = x m e a n - x . Tomo a 2,5 ^º -percentile e 97,5 ^º percentil dos 1000 pontos para obter o menor eo maior efeito do que eu chamo um intervalo de confiança de 95% em todo o 1 ^st$x_{mean}$$\text{bias}=x_{mean}-x$-percentil da amostra original. I denotar esses pontos e x 0,975 .$x_{0.025}$$x_{0.975}$

O último passo restante é adaptar esse intervalo de confiança para ficar em torno do ^1º percentil da população em vez de em torno do ^1º percentil da amostra original . Portanto, tomo como extremidade inferior e x - viés + ( x 0,975 - x m e a n ) como o limite superior do intervalo de confiança de 95% em torno da estimativa pontual 1 da população$x-\text{bias}-(x_{mean}-x_{0.025})$$x-\text{bias}+(x_{0.975}-x_{mean})$ ^r -percentile. Este último intervalo é o que eu estava procurando.

Um importante ponto, na minha opinião, é se faz sentido a utilização de bootstrap para 1 ^st -percentile que é bastante perto da cauda da distribuição subjacente desconhecida da população. Eu suspeito que possa ser problemático; pense em usar o bootstrap para criar um intervalo de confiança em torno de um mínimo (ou máximo).

Mas talvez essa abordagem seja falha? Por favor deixe-me saber.

EDITAR:

$x-\text{bias}$

$x$$x-(x_{mean}-x_{0.025})$$x+(x_{0.975}-x_{mean})$

Então, isso faz qualquer sentido supor que a amostra 1 ^st percentual é uma estimativa tendenciosa da população 1 ^st percentil? E se não, minha solução alternativa está correta?

$n$$1 - (1-1/n)^n \sim 1 - {\rm exp}(-1) = 63.2\%$${\rm exp}(-1) - {\rm exp}(-2)=23.3\%$

$n\to\infty$