Como aplicar o teorema de Bayes na busca de um pescador perdido no mar

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O artigo The Odds, Continued Updated menciona a história de um pescador de Long Island que literalmente deve sua vida às estatísticas Bayesianas. Aqui está a versão curta:

Há dois pescadores em um barco no meio da noite. Enquanto um está dormindo, o outro cai no oceano. O barco continua a andar no piloto automático durante toda a noite até o primeiro cara finalmente acordar e notificar a Guarda Costeira. A Guarda Costeira usa um software chamado SAROPS (Sistema de Planejamento Ótimo de Busca e Resgate) para encontrá-lo bem a tempo, pois estava hipotérmico e sem energia para se manter à tona.

Aqui está a versão longa: Um pontinho no mar

Eu queria saber mais sobre como o teorema de Bayes é realmente aplicado aqui. Eu descobri um pouco sobre o software SAROPS apenas pesquisando no Google.

O simulador SAROPS

O componente do simulador leva em consideração dados oportunos, como corrente oceânica, vento, etc. e simula milhares de possíveis caminhos de deriva. A partir desses caminhos de deriva, um mapa de distribuição de probabilidade é criado.

Observe que os gráficos a seguir não se referem ao caso do pescador desaparecido que mencionei acima, mas são um exemplo de brinquedo retirado desta apresentação

Mapa de Probabilidades 1 (Vermelho indica a maior probabilidade; azul, a menor) insira a descrição da imagem aqui

Observe o círculo que é o local inicial.

Mapa de Probabilidades 2 - Mais tempo se passou insira a descrição da imagem aqui

Observe que o mapa de probabilidade se tornou multimodal. Isso ocorre porque neste exemplo, vários cenários são contabilizados:

A pessoa está flutuando na água - modo meio-alto
A pessoa está em uma balsa salva-vidas (mais afetada pelo vento vindo do norte) - dois modos inferiores (divididos por causa dos "efeitos de escoriações")

Mapa de probabilidades 3 - A pesquisa foi conduzida pelos caminhos retangulares em vermelho insira a descrição da imagem aqui Esta imagem mostra os caminhos ideais produzidos pelo planejador (outro componente do SAROPS). Como você pode ver, esses caminhos foram pesquisados e o mapa de probabilidades foi atualizado pelo simulador.

$p(\text{fail})$

Efeitos de uma pesquisa malsucedida

É aqui que entra o Teorema de Bayes. Depois que uma pesquisa é realizada, o mapa de probabilidades é atualizado de acordo para que outra pesquisa possa ser planejada da melhor maneira possível.

Depois de revisar o Teorema de Bayes na wikipedia e no artigo Uma explicação intuitiva (e curta) do Teorema de Bayes em BetterExplained.com

Peguei a equação de Bayes:

P (A ∣ X) = \frac{P (X ∣ A) \times P (A)}{P (X)}

$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$

E definiu A e X da seguinte maneira ...

Evento A: A pessoa está nesta área (célula da grade)
Teste X: pesquisa malsucedida nessa área (célula da grade), ou seja, pesquisou nessa área e não viu nada

Produzindo,

P (person there ∣ unsuccessful) = \frac{P (unsuccessful ∣ person there) \times P (person there)}{P (unsuccessful)}

$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$

$P(\text{fail})$ $P(\text{fail})$

Então agora nós temos,

P (person there ∣ unsuccessful) = \frac{P (fail) \times P (person there)}{P (unsuccessful)}

$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$

A equação de Bayes é aplicada corretamente aqui?
Como seria calculado o denominador, a probabilidade de uma pesquisa malsucedida?

Também no Search and Rescue Optimal Planning System , eles dizem

As probabilidades anteriores são "normalizadas da maneira bayesiana usual" para produzir as probabilidades posteriores
O que significa "normalizado da maneira bayesiana normal" ?

$P(\text{unsuccessful})$
$P(\text{person there})$ $P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

Mais uma nota de simplificação - de acordo com o Sistema de Planejamento Ideal de Busca e Salvamento, a distribuição posterior é realmente calculada atualizando as probabilidades dos caminhos de desvio simulados e, em seguida, gerando novamente o mapa de probabilidades com grade. Para manter esse exemplo simples, escolhi ignorar os caminhos do sim e focar nas células da grade.

— mlai
fonte

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Assumindo independência entre as células da grade, parece que o Teorema de Bayes foi aplicado corretamente.
$P (X) = P (X | A) P (A) + P (X | A^{c}) P (A^{c})$ $P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$ $A^c$ $A$ $P(X|A^c)=1$
$P(A|X)$ $P (A | X) \propto P (X | A) P (A) P (A^{c} | X), \propto P (X | A^{c}) P (A^{c}), and P (A | X) + P (A^{c} | X) = 1$ $P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$ $P(X)$
$i$ $A_i$ $i$ $X_i$ $i$ $X$
- $\sum_i P(A_i|X)=1$
- $P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$ $P(A_i|X) \propto P(A_i)$ $P(A_i|X)$
$P(A_i|X)$

— jaradniemi
fonte

\sum_{i} P (A_{i} | X) = 1

$\sum_{i}P(A_i|X)=1$

P (X | A) P (A)

$P(X|A)P(A)$

\sum_{i} P (X | A) P (A_{i})

$\sum_{i}P(X|A)P(A_i)$

Eu só percebi que a procura cada célula com uma probabilidade fixa de falha resultaria em absolutamente nenhuma mudança entre a distribuição de probabilidade :)

— mlai

P (X | A) P (A_{i})

$P(X|A)P(A_i)$

P (A_{i})

$P(A_i)$

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Fui apontado para um livro que tem um capítulo inteiro dedicado à minha pergunta - Análise de Operações Navais - por um ex-professor que costumava ser piloto de helicóptero e, na verdade, realizou missões de busca e resgate!

No capítulo 8, é fornecido um exemplo semelhante a este (eu o personalizei um pouco):

Para começar, há uma distribuição prévia em grade para a localização da (s) pessoa (s) desaparecida (s), barco etc.

Distribuição prévia:

Uma pesquisa é realizada em parte da grade e as probabilidades são atualizadas com uma distribuição posterior normalizada , aplicando a equação de Bayes da mesma maneira que mencionei nas minhas perguntas:

P (target in (i,j) ∣ no detection) = \frac{P (no detection ∣ target in (i,j)) \times P (target in (i,j))}{P (no detection)}

$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$

onde (i, j) = (lat, long)

Nesse caso, decidi pesquisar a coluna 3 porque essa coluna tinha a maior probabilidade total anterior .

Distribuição posterior normalizada após pesquisa na terceira coluna com pFail = 0,2:

Minha pergunta era principalmente sobre como a posterior foi normalizada. Eis como foi feito no livro - simplesmente divida cada probabilidade posterior individual pela soma total , S :

Descrição da imagem

Escolhi uma probabilidade de 0,2 de uma pesquisa com falha porque meu professor tinha a dizer: "Nós pesquisamos apenas 80% de probabilidade de detecção, porque essa é geralmente a melhor alternativa entre timlieness e precisão".

Apenas para chutes, executei outro exemplo com um pFail de 0,5. Enquanto no primeiro exemplo ( pFail = 0,2), a próxima melhor rota de pesquisa (considerando as pesquisas posteriores normalizadas e assumindo linhas retas, sem diagonal ou zig-zag) seria sobrevoar a coluna 2, no segundo exemplo ( pFail = 0.5) a melhor rota seguinte é sobre a linha 2.

Distribuição posterior normalizada após pesquisa na terceira coluna com pFail = 0,5:

insira a descrição da imagem aqui

Ele também acrescentou: "A aeronave carrega uma pequena lista de verificação com eles para ajudar a determinar a melhor altitude e velocidade do ar. Trabalhar isso em um helicóptero voador é como sentar em cima de uma máquina de lavar roupa, lendo um livro colado em uma máquina de lavar roupa diferente".

— mlai
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