Eu estava tentando simular a injeção de pontos aleatórios dentro de um círculo, de forma que qualquer parte do círculo tivesse a mesma probabilidade de ter um defeito. Eu esperava que a contagem por área da distribuição resultante seguisse uma distribuição de Poisson se eu dividir o círculo em retângulos de área iguais.

Como requer apenas a colocação de pontos dentro de uma área circular, injetei duas distribuições aleatórias uniformes em coordenadas polares: (raio) e (ângulo polar).$R$$\theta$

Mas depois de fazer essa injeção, eu claramente recebo mais pontos no centro do círculo em comparação com a borda.

Qual seria a maneira correta de executar essa injeção no círculo, de modo que os pontos sejam distribuídos aleatoriamente no cirlce?

Você deseja que a proporção de pontos seja uniformemente proporcional à área e não à distância da origem. Como a área é proporcional à distância ao quadrado, gere raios aleatórios uniformes e tome suas raízes quadradas. Combine isso com um ângulo polar uniforme.

É rápido e simples de codificar, eficiente na execução (especialmente em uma plataforma paralela) e gera exatamente o número prescrito de pontos.

Exemplo

Este é um Rcódigo funcional para ilustrar o algoritmo.

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

A amostragem por rejeição pode ser usada. Isso significa que podemos amostrar a partir da distribuição uniforme 2D e selecionar amostras que atendam às condições do disco.

Aqui está um exemplo.

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

Darei a você uma resposta n-dimensional geral que também funciona para casos bidimensionais, é claro. Em três dimensões, um análogo de um disco é o volume de uma bola sólida (esfera).

Existem duas abordagens que vou discutir. Um deles eu chamaria de "preciso" , e você obterá uma solução completa com ele em R. O segundo eu chamo de heurística , e é apenas a idéia, nenhuma solução completa é fornecida.

Solução "precisa"

Minha solução é baseada nos trabalhos de Marsaglia e Muller . Basicamente, isso acontece para que o vetor gaussiano normalizado de acordo com sua norma lhe desse pontos distribuídos uniformemente em uma hiperesfera d-dimensional:

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Aqui está um trecho de código para o caso 3d, ou seja, uma bola sólida:

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

Abordagem heurística

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

Aqui está uma solução alternativa em R:

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")