Números esperados de cores distintas ao desenhar sem substituição

Considere uma urna contendo $N$ bolas de cores diferentes, com sendo a proporção de bolas de cor entre as bolas ( ). Eu desenho bolas da urna sem substituição e olho para o número de cores diferentes entre as bolas que foram sorteadas. Qual é a expectativa de em função de , dependendo das propriedades adequadas da distribuição ?P p i i N ∑ i p i = 1 n ≤ N γ $P$$p_i$$i$$N$$\sum_i p_i = 1$$n \leq N$$\gamma$$\gamma$$n/N$$\mathbf{p}$

Para dar uma ideia mais clara: Se e para todos os , em seguida, I irão ver sempre exactamente cores, isto é, . Caso contrário, pode ser demonstrado que a expectativa de é . Para e fixos , parece que o fator pelo qual multiplicar seria máximo quando for uniforme; talvez o número esperado de cores diferentes vistas seja delimitado em função de e, por exemplo, a entropia de ?N = P p i = 1 / P i n γ = P ( n / N ) γ $N = P$$p_i = 1/P$$i$$n$$\gamma = P (n/N)$$\gamma$$>P(n/N)$$P$$N$n / N p n / N $n/N$$\mathbf{p}$$n/N$$\mathbf{p}$

Isso parece estar relacionado ao problema do coletor de cupons, exceto que a amostragem é realizada sem substituição e a distribuição dos cupons não é uniforme.

Suponha que você tem k cores, onde k ≤ N . Deixe- b i denotam o número de bolas de cores i tão Σ b i = N . Deixe B = { b 1 , ... , b k } e deixou E i ( B ) Notate o conjunto que consiste nos i subconjuntos elemento de B . Seja Q n , c denota o número de maneiras pelas quais podemos escolher $k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$elementos do conjunto acima, de modo que o número de cores diferentes no conjunto escolhido seja c . Para c = 1, a fórmula é simples:$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

Para c = 2 , podemos contar conjuntos de bolas de tamanho n com no máximo 2 cores menos o número de conjuntos com exatamente 1 cor:$c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

$\binom{k - 1}{1}$ is the number of ways you can add a color to a fixed color such that you will have 2 colors if you have $k$ colors in total. The generic formula is if you have $c_1$ fixed colors and you want to make $c_2$ colors out of it while having $k$ colors in total($c_1 \leq c_2 \leq k$) is $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$. Now we have everything to derive the generic formula for $Q_{n, c}$:

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

The probability that you will have exactly $c$ colors if you draw $n$ balls is:

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

Also note that $\binom{x}{y} = 0$ if $y > x$.

Probably there are special cases where the formula can be simplified. I didn't bother to find those simplifications this time.

The expected value you're looking for the number of colors dependent on $n$ is the following:

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$