Por que a distribuição amostral de variância é uma distribuição qui-quadrado?

A declaração

A distribuição amostral da variância amostral é uma distribuição qui-quadrado com grau de liberdade igual a , onde n é o tamanho da amostra (dado que a variável aleatória de interesse é normalmente distribuída).$n-1$$n$

Fonte

Minha intuição

Faz um sentido intuitivo para mim 1) porque um teste do qui-quadrado se parece com uma soma do quadrado e 2) porque uma distribuição do qui-quadrado é apenas uma soma da distribuição normal ao quadrado. Mas, ainda assim, não tenho uma boa compreensão disso.

Questão

A afirmação é verdadeira? Por quê?

[Eu vou assumir a partir da discussão em sua pergunta que você está feliz em aceitar como verdade que, se são independentes identicamente distribuídas N ( 0 , 1 ) variáveis aleatórias, então Σ k i = 1 Z 2 i ~ χ 2 k .]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Formalmente, o resultado que você precisa segue do teorema de Cochran . (Embora possa ser mostrado de outras maneiras)

Menos formalmente, considere que, se soubéssemos a média da população, e estimamos a variação sobre ela (em vez da média da amostra): , entãos 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (Zi=(Xi-μ)/σ) que será$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ vezes umavariável aleatóriaχ 2 n .$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

O fato de a média da amostra ser utilizada, em vez da média da população ( ) diminui a soma dos quadrados dos desvios, mas da maneira que ∑ n i = 1 ( Z ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (sobre o qual, ver o teorema de Cochran). Portanto, em vez de n s $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$ temos agora(n-1)s2/σ2~χ 2 n - 1 .$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$