Valor esperado e variância da estimativa do parâmetro de inclinação

Estou lendo um texto, "Probability and Statistics", de Devore. Estou analisando 2 itens na página 740: o valor esperado e a variância da estimativa de $\beta_1$ , que é o parâmetro de inclinação na regressão linear $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ . $\epsilon_i$ é uma Gaussiana ( $\mu = 0, variance=\sigma^2$ ) variável aleatória e a $\epsilon_i$ são independentes.

A estimativa de $\beta_1$ pode ser expressa como: $\hat{\beta_1} = \frac{\sum (x_i - \bar{x}) (Y_i - \bar{Y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}$ , onde $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$ . Então, minha pergunta é: como derivar $E(\hat{\beta_1})$ e $Var(\hat{\beta_1})$ ? O livro já forneceu os resultados: $E(\hat{\beta_1}) = \beta_1$ e $Var(\hat{\beta_1}) = \frac{\sigma^2}{S_xx}$ .

Meu trabalho na derivação: $E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ , uma vez que $\sum(x_i - \bar{x})c = 0$ e $E(c\epsilon) = 0$ . Mas eu estou preso.

Além disso, $Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})}{S_{xx}}\right) \sigma^2$ , mas estou preso.

regression self-study linear

— jrand
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Meu comentário em 22 de Junho de 2011, em resposta de whuber usuário deve incluir o índice

é, e deve fazer uso do fato de que os termos de erro

são independentes.

i

$i$

ϵ

$\epsilon$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— jrand

V a r (\hat{β_{1}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) y_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) ϵ_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ_{1}}{S_{x x}} + \frac{(x_{2} - \bar{x}) ϵ_{2}}{S_{x x}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x}) ϵ_{n}}{S_{x x}}) = \frac{(x_{1} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \frac{(x_{2} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} = σ^{2} [\sum \frac{(x_{i} - \bar{x})^{2}}{(S_{x x})^{2}}] = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$\mathrm{Var}(\hat{\beta_1}) = \mathrm{Var}\left(\sum\frac{(x_i - \bar{x})y_i}{S_{xx}}\right) = \mathrm{Var}\left(\sum{\frac{(x_i-\bar{x})\epsilon_i}{S_{xx}}}\right) = \mathrm{Var}\left(\frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon_1}{S_{xx}} + \frac{(x_2 - \bar{x})\epsilon_2}{S_{xx}} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})\epsilon_n}{S_{xx}}\right) = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \frac{(x_2 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} = \sigma^2 \left[\sum{\frac{(x_i-\bar{x})^2}{(S_{xx})^2}}\right] = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

— jrand

A "resposta" padrão é uma subestimação, ignora a variação de S_ {xx}.

— precisa saber é o seguinte

Na situação ser perguntado sobre,

está sendo condicionada a, por isso é tratado como fixo em vez de aleatório

X

$X$

— Glen_b -Reinstate Monica

= $E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ porque tudo é constante. O resto é apenas álgebra. Evidentemente, você precisa mostrar. Observar a definição dee comparar os dois lados leva a suspeitar. Isso se segue facilmente da definição de . $\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}$ $\sum (x_i - \bar{x}) x_i = S_{xx}$ $S_{xx}$ $\sum(x_i - \bar{x}) \bar{x} = 0$ $\bar{x}$
= $Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right)$ . Simplifica, usando a definição de, para o resultado desejado. $\sum \left[\frac{(x_i - \bar{x})^2}{S_{xx}^2}\sigma^2\right]$ $S_{xx}$

— whuber
fonte

Para o segundo ponto, a variância, a equação deve ser:

V a r (\frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ + (x_{2} - \bar{x}) ϵ + \dots + (x_{n} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = (\frac{\sum_{i}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{S_{x x}^{2}}) \times σ^{2} = \frac{S_{x x}}{S_{x x}^{2}} \times σ^{2} = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left( \frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon + (x_2 - \bar{x})\epsilon + \ldots + (x_n - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}} \right) = \left( \frac{ \sum_i^{n} (x_i - \bar{x})^2} {S_{xx}^2} \right) \times \sigma^2 = \frac{S_{xx}}{S_{xx}^2} \times \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

— jrand

@ jrand Sim, foi exatamente isso que escrevi (embora sua primeira igualdade não realize nada: é apenas uma maneira mais trabalhosa de escrever a soma). O ponto todo - e o que vale a pena lembrar - é que quando

é uma variável aleatória com uma variação e

é constante,

ε

$\varepsilon$

λ

$\lambda$

V a r (λ ε)

$Var(\lambda \varepsilon)$

λ^{2} V a r (ε)

$\lambda^2 Var(\varepsilon)$

— whuber

A menos que eu estou recebendo o errado notação, esta é uma afirmação falsa:

. A quantidade no lado esquerdo é a soma dos quadrados e a outra é o quadrado da soma.

\sum_{i}^{n} (x_{i})^{2} = {(\sum_{i}^{n} x_{i})}^{2}

$\sum_i^n (x_i)^2 = \left( \sum_i^n x_i \right)^2$

— jrand

@ jrand Você está correto: há um erro tipográfico na minha resposta. Obrigado por apontar. Eu o reformatei para corrigir o erro e tornar a lógica mais clara.

— whuber