Estou lendo um texto, "Probability and Statistics", de Devore. Estou analisando 2 itens na página 740: o valor esperado e a variância da estimativa de β1 , que é o parâmetro de inclinação na regressão linear Yi=β0+β1Xi+ϵi . ϵEu é uma Gaussiana ( μ = 0 , v a r i a n c e = σ2 ) variável aleatória e a ϵEu são independentes.
A estimativa de β1 pode ser expressa como: β1^= ∑ ( xEu- x¯) ( YEu- Y¯)∑ ( xEu- x¯)2= ∑ ( xEu- x¯) YEuSx x , ondeSx x= ∑ ( xEu- x¯)2. Então, minha pergunta é: como derivarE( β1^)eVa r ( β1^)? O livro já forneceu os resultados:E( β1^) = β1eVa r ( β1^) = σ2Sxx .
Meu trabalho na derivação: E(∑(xi−x¯)YiSxx)=E(∑(xi−x¯)(β0+β1xi+ϵ)Sxx)=E(∑(xi−x¯)β1xiSxx), uma vez que∑(xi−x¯)c=0eE(cϵ)=0. Mas eu estou preso.
Além disso, Var(∑(xi−x¯)YiSxx)=Var(∑(xi−x¯)(β0+β1xi+ϵ)Sxx)=Var(∑(xi−x¯)ϵSxx)=Var(∑(xi−x¯)Sxx)σ2, mas estou preso.