Estimador de probabilidade máxima para distribuições exponenciais mínimas

Estou preso em como resolver este problema.

Portanto, temos duas seqüências de variáveis aleatórias, e para . Agora, e são distribuições exponenciais independentes com parâmetros e . No entanto, em vez de se observar e , observa-se, em vez e . $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ e $W=1$ se $Z_i=X_i$ e 0 se $Z_i=Y_i$ . I tem que encontrar-formas fechadas para os estimadores de probabilidade máxima de $\lambda$ e $\mu$ sobre a base de $Z$ e $W$ . Além disso, precisamos mostrar que esses são máximos globais.

Agora, eu sei que o mínimo de dois exponenciais independentes é ele próprio exponencial, com a taxa igual à soma das taxas, então sabemos que $Z$ é exponencial com o parâmetro $\lambda+\mu$ . Portanto, nosso estimador de probabilidade máxima é: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Mas estou preso com aonde ir daqui. Eu sei que $W$ é uma distribuição de Bernoulli com o parâmetro $p=P(Z_i=X_i)$ , mas não sei como converter isso em uma declaração sobre um dos parâmetros. Por exemplo, o que o MLE $\bar{W}$ estimaria em termos de $\lambda$ e / ou $\mu$ ? Eu entendo que se $Z_i=X_i$ , então $\mu=0$ , mas estou tendo dificuldade em descobrir como chegar a qualquer declaração algébrica aqui.

UPDATE 1: Então me foi dito nos comentários para derivar a probabilidade para a distribuição conjunta de $Z$ e $W$ .

Então onde . Corrigir? Não sei de que outra forma derivar uma distribuição conjunta neste caso, uma vez que e não são independentes. $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

Portanto, isso nos dá, , pela definição de acima. Mas e agora? Isso não me leva a lugar nenhum. Se eu seguir as etapas de cálculo da probabilidade, obtenho: (usando e como o tamanho da amostra para cada parte da mistura ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Se tomar as derivadas parciais, isto diz-me que o meu MLE estimativas de e são apenas a média do 's condicional em . Isso é, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Ryan Simmons
fonte

Tendo acabado de responder a uma pergunta semelhante do MLE hoje, posso direcioná-lo para essa solução para algumas idéias? A relação entre as perguntas é que seus dados também se separam naturalmente em dois grupos separados: aqueles em que e aqueles em que . Tudo se resume a anotar a probabilidade de uma observação da forma ; a simetria entre e , e , produz imediatamente a probabilidade de dados do formulário e, em seguida, você está em execução.

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

Não se apresse em escrever a máxima probabilidade! Primeiro, expresse a distribuição conjunta de e deduza a probabilidade associada à amostra de , que passa a ser de forma fechada graças à suposição exponencial. Então, e somente então, você pode tentar maximizar a função e, consequentemente, obter a máxima probabilidade.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— Xi'an

@whuber: (+1) é bastante simples fato e envolve a separação entre o 's eo , mas ambos os grupos envolvem ambos e , uma vez que trazem informações sobre ambos e , já que .

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— Xian

@ Xi'an Isso mesmo - e os paralelos com o exemplo da teoria normal que eu vinculo para continuar sendo mantidos, porque os dois grupos fornecem informações sobre o parâmetro comum (a escala), cuja estimativa envolverá assim o "agrupamento" de dados dos grupos. Aqui será visto que nos diz como a estimativa de (a taxa, ou escala inversa, para ) deve ser repartida em estimativas separadas de e .

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

Eu li o outro tópico, whuber, mas sinceramente não entendo como aplicar isso a este exemplo. Z e W não são independentes, então como derivar a distribuição conjunta?

— Ryan Simmons

Como não tenho pontos suficientes para comentar, escreverei aqui. Acho que o problema que você publica pode ser visto da perspectiva da análise de sobrevivência, se você considerar o seguinte:

$X_i$ : verdadeiro tempo de sobrevivência,

$Y_i$ : tempo de ,

Ambos têm uma distribuição exponencial com e independentes. Então é o tempo de sobrevivência observado e o indicador de censura. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

Se você está familiarizado com a análise de sobrevivência, acredito que possa começar a partir deste ponto.

Notas: Uma boa fonte: Análise dos dados de sobrevivência da DRCox e da D.Oakes

Abaixo está um exemplo: Supondo que o pdf da distribuição do tempo de sobrevivência seja . Então a função de sobrevivência é: . E a probabilidade do log é: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

com somatório sobre pessoas sem censura ( ) e pessoas censuradas ( ), respectivamente. $u$ $c$

Devido ao fato de que que h (t) é a função de perigo, isso pode ser escrito: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

E o estimador de probabilidade máxima de é: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ que é o número total de casos de $d$ $W_i=1$

— jujae
fonte