A média = mediana implica que uma distribuição unimodal é simétrica?

Para uma distribuição unimodal, se média = mediana, basta dizer que a distribuição é simétrica?

A Wikipedia diz na relação entre média e mediana:

"Se a distribuição é simétrica, a média é igual à mediana e a distribuição terá assimetria zero. Se, além disso, a distribuição for unimodal, então a média = mediana = modo. Este é o caso de um sorteio ou o valor séries 1,2,3,4, ... Observe, no entanto, que o inverso não é verdadeiro em geral, ou seja, assimetria zero não implica que a média seja igual à mediana. "

No entanto, não é muito simples (para mim) recolher as informações de que preciso. Qualquer ajuda por favor.

Aqui está um pequeno contra-exemplo que não é simétrico: -3, -2, 0, 0, 1, 4 é unimodal com mode = median = mean = 0.

Editar: Um exemplo ainda menor é -2, -1, 0, 0, 3.

Se você deseja imaginar uma variável aleatória em vez de uma amostra, use o suporte como {-2, -1, 0, 3} com a função de massa de probabilidade 0,2 em todas elas, exceto em 0, onde é 0,4.

Isso começou como um comentário, mas cresceu muito; Decidi torná-lo mais uma resposta.

${A\implies B}$$B\implies A$

Eu gostaria de lidar com algumas questões adicionais e apontar algumas respostas extensas já aqui que estão relacionadas em certa medida.

1. A declaração na página da Wikipedia que você cita também não é estritamente verdadeira. Considere, por exemplo, a distribuição de Cauchy, que certamente é simétrica em relação à sua mediana, mas que não tem uma média. A declaração precisa de um qualificador como 'desde que a média e a assimetria existam'. Mesmo se a reduzirmos à afirmação mais fraca na primeira metade da primeira frase, ela ainda precisará "desde que a média exista".

2. Sua pergunta confunde parcialmente a simetria com a distorção zero (suponho que você pretenda distorção no terceiro momento, mas uma discussão semelhante poderia ser escrita para outras medidas de distorção). Ter 0 inclinação não implica simetria. A parte posterior da sua citação e a seção da Wikipedia citada por Alexis mencionam isso, embora a explicação dada na segunda citação possa usar alguns ajustes.

Essa resposta mostra que a relação entre a distorção do terceiro momento e a direção da relação entre média e mediana é fraca (a distorção do terceiro momento e a distorção do segundo Pearson não precisam corresponder).

O item 1. desta resposta fornece um contra-exemplo discreto, semelhante, mas diferente do fornecido por Silverfish.

Edit: Eu finalmente desenterrei o exemplo unimodal que eu estava procurando antes.

Em esta resposta I mencionar o seguinte família:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

Tomando dois membros específicos (digamos as densidades azul e verde no exemplo específico nessa resposta vinculada, que têm $\alpha=0$e $\alpha=\frac{_1}{^2}$ respectivamente), e lançando um sobre o eixo x e tomando uma mistura 50-50 dos dois, obteríamos uma densidade assimétrica unimodal com todos os momentos ímpares zero:

(as linhas cinza mostram a densidade azul girada em torno do eixo x para tornar a assimetria simples)

Whuber dá outro exemplo aqui, com assimetria zero, contínua, unimodal e assimétrica. Eu reproduzi o diagrama dele:

que mostra o exemplo e o mesmo exemplo sobre a média (para mostrar claramente a assimetria), mas você deve ler o original, que contém muitas informações úteis.

[A resposta de Whuber aqui fornece outra família contínua e assimétrica de distribuições com os mesmos momentos. Fazer o mesmo truque "escolha dois, jogue um e pegue uma mistura de 50-50" tem o mesmo resultado de assimétrico com todos os momentos ímpares zero, mas acho que não dá resultados unimodais aqui (embora talvez haja alguns exemplos). ]

A resposta aqui discute a relação entre média, mediana e moda.

Esta resposta discute testes de hipótese de simetria.

Não.

Se, além disso, a distribuição é unimodal, a média = mediana = modo.

Da mesma forma que "Se o filhote é um frango, sua origem é um ovo" não implica que "Se a origem é um ovo, o filhote é uma galinha".

Do mesmo artigo da Wikipedia:

Nos casos em que uma cauda é longa, mas a outra cauda é gorda, a assimetria não obedece a uma regra simples. Por exemplo, um valor zero indica que as caudas dos dois lados da média se equilibram, o que é o caso de uma distribuição simétrica e de distribuições assimétricas em que as assimetrias se nivelam, como uma cauda sendo longa, porém fina, e a outro sendo baixo, mas gordo.

Exemplos interessantes e fáceis de entender vêm da distribuição binomial.

Aqui estão as probabilidades binomiais de 0 (1) 5 sucessos em 5 tentativas quando a probabilidade de sucesso é 0,2. É imediato que a média seja 0,2$\times$ 5 $=$1, cuja inspeção de probabilidades confirma como também a mediana e o modo (único), mas a distribuição claramente não é simétrica. Naturalmente, existem muitos outros exemplos de binômios inclinados com um número inteiro positivo.

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

O código Stata para essa tela era mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'e presumivelmente é tão simples ou mais simples em qualquer software estatístico que vale a pena mencionar.

Por uma questão de psicologia e não lógica, este exemplo não pode ser convincentemente descartado como patológico (como em outros problemas, pode-se descontar distribuições para as quais certos momentos nem sequer existem) ou como um exemplo bizarro ou trivial inventado para esse fim (como por exemplo, os dados inventados descritos por @Silverfish ou 0, 0, 1, 1, 1, 3).