Por que os preços das ações são normais, mas o retorno das ações é normal

Exceto pelo fato de que os retornos podem ser negativos, enquanto os preços devem ser positivos, existe alguma outra razão por trás da modelagem dos preços das ações como uma distribuição normal de log, mas da modelagem dos retornos das ações como uma distribuição normal?

normal-distribution lognormal finance

— Vencedor
fonte

Nenhuma das reivindicações do título é realmente verdadeira. Você deve definir retornos na sua pergunta (eu vi duas definições ligeiramente diferentes, e isso importa para como uma resposta deve ser formulada neste caso)

— Glen_b -Reinstate Monica

Retornos diários ... como em ... a diferença entre o dia aberto e o dia encerrado, expressa em% do dia aberto.

— 226 Victor Victor

Você pode encontrar informações atualizadas sobre as distribuições de devoluções de ações no vídeo de 3 minutos publicado aqui: indiegogo.com/projects/fat-tails-mathematics/x/17297122#

— Anton Nefedov

A existência de uma resposta altamente votada e aceita implica que este Q seja suficientemente claro para ser respondido. Estou votando para deixar em aberto.

— gung - Restabelece Monica

Alguns pontos para começar:

i) essas convenções distributivas são, na melhor das hipóteses, aproximações. Eles podem ser modelos convenientes, mas não devemos confundir isso com a distribuição real dos preços ou retornos das ações.

$y_t$ $t$ $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$ $y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

$x$ $\log(1+x)\approx x$

$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Ou seja, o retorno é aproximadamente a alteração no preço das ações de log (tente com preços de ações reais e veja se são quase idênticos).

Então se

y_{t} \dot{\sim} \log N (\log (y_{t - 1}) + μ_{daily}, σ_{daily}^{2})

$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

que implica

\log (y_{t}) \dot{\sim} N (\log (y_{t - 1}) + μ_{daily}, σ_{daily}^{2})

$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

então

\frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}} \approx \log (y_{t}) - \log (y_{t - 1}) \dot{\sim} N (μ_{daily}, σ_{daily}^{2})

$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Como mencionado, para retornos curtos, você pode confundi-lo com uma distribuição normal. Eu o ilustrei em um post no meu blog.

— Jan Rothkegel