Distribuição de probabilidade para uma onda senoidal barulhenta

Estou procurando calcular analiticamente uma distribuição de probabilidade de pontos de amostragem de uma função oscilante quando há algum erro de medição. Eu já calculei a distribuição de probabilidade para a parte "sem ruído" (vou colocar isso no final), mas não consigo descobrir como incluir "ruído".

Estimativa numérica

Para ser mais claro, imagine que existe alguma função qual você escolhe aleatoriamente pontos durante um único ciclo; se você agrupar os pontos em um histograma, obterá algo relacionado à distribuição.$y(x) = \sin(x)$

Sem barulho

Por exemplo, aqui está o e o histograma correspondente$sin(x)$

Com barulho

Agora, se houver algum erro de medição, ele mudará a forma do histograma (e, portanto, acho que a distribuição subjacente). Por exemplo

Cálculo analítico

Então, espero ter convencido você de que há alguma diferença entre os dois, agora vou escrever como calculei o caso "sem ruído":

Sem barulho

$$y(x) = \sin(x)$$

Então, se os tempos em que amostramos são distribuídos uniformemente, a distribuição de probabilidade para deve satisfazer:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

então desde

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

e entao

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

que com normalização apropriada se encaixa no histograma gerado no caso "sem ruído".

Com barulho

Então, minha pergunta é: como posso incluir analiticamente o ruído na distribuição? Eu acho que é algo como combinar as distribuições de uma maneira inteligente, ou incluir ruído na definição de , mas estou sem idéias e maneiras de avançar, de modo que qualquer dica / dica ou mesmo leitura recomendada será muito estimado.$y(x)$

Depende de como o processo de ruído está estruturado.

Supondo que eu entendi sua situação corretamente, se o ruído é aditiva, independente e identicamente distribuídas, você apenas tomar a convolução da densidade de ruído com a densidade de .$Y$

Se for uniforme aleatório ao longo de um ciclo, seu processo silencioso condicional em é , que é degenerado, com média e variação 0. A distribuição marginal de é uma mistura uniforme dessas distribuições degeneradas ; parece que você trabalhou nessa distribuição corretamente; vamos chamar isso de densidade .$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

Se, por exemplo, seu ruído for , ou seja, , então é a densidade da soma do ruído com essa mistura uniforme de variáveis ​​silenciosas.$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(essa convolução foi feita numericamente; não sei como essa integral é tratável neste exemplo, porque não a tentei.)

Eu acho que a expressão derivada de P (x) é desativada por um fator de dois. O tempo de amostra distribuído uniformemente é equivalente a distribuir uniformemente a fase ao longo do intervalo -pi, pi. A função trigonométrica distribui probabilidade ao longo do intervalo y {-1,1}. A integração de P (y) nesse intervalo deve = 1, não 2, conforme obtido usando seu integrando acima. Eu acho que P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))