Regressão com variável independente inversa

Vamos supor que eu tenha um vetor - de variáveis ​​dependentes e um vetor - de variável independente. Quando é plotado contra , vejo que há uma relação linear (tendência ascendente) entre os dois. Agora, isso também significa que há uma tendência de queda linear entre e .$N$$Y$$N$$X$$Y$$\frac{1}{X}$$Y$$X$

Agora, se eu executar a regressão: e obter o valor ajustado$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Então eu executo a regressão: e obtenho o valor ajustado $Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

Os dois valores previstos, e serão aproximadamente iguais?$\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 Quando Y é plotado contra , vejo que há uma relação linear (tendência ascendente) entre os dois. Agora, isso também significa que há uma tendência linear de queda entre Y e X$\frac{1}{X}$

A última frase está errada: há uma tendência de queda, mas não é linear:

I utilizado um como função além de um pouco de ruído em . Como você pode ver, enquanto a plotagem de contra produz um comportamento linear, contra está longe de ser linear.$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$$\frac{1}{X}$$Y$$X$

(@whuber salienta que o gráfico contra não parece homoscedástico. Acho que parece ter uma variação maior para um baixo porque a densidade muito maior de casos leva a uma faixa maior, que é essencialmente o que nós Na verdade, os dados são homocedásticos: eu costumava gerar os dados, portanto não há dependência do tamanho de )$Y$$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

Então, em geral, o relacionamento é muito não linear. Ou seja, a menos que seu intervalo de seja tão estreito que você possa aproximarAqui está um exemplo:$X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Bottomline:

• Em geral, é muito difícil aproximar uma função do tipo por uma função linear ou polinomial. E sem termo de compensação, você nunca terá uma aproximação razoável.$\frac{1}{X}$
• Se o intervalo for estreito o suficiente para permitir uma aproximação linear, você não conseguirá, a partir dos dados, adivinhar que a relação deve ser e não linear ( ).$X$$\frac{1}{X}$$X$

Não vejo razão para eles serem "aproximadamente iguais" em geral - mas o que exatamente você quer dizer com aproximadamente igual?

Aqui está um exemplo de brinquedo:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

A imagem:

O modelo "azul" seria muito melhor se fosse permitido ter um termo de interceptação (ou seja, constante) ...