Fórmula para regressão linear simples ponderada

Esta página wiki Regressão Linear Simples tem fórmulas para calcular$\alpha$ e $\beta$. Alguém poderia me dizer como derivar as fórmulas em caso ponderado?

Pense nos mínimos quadrados comuns (OLS) como uma "caixa preta" para minimizar

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

para uma tabela de dados cuja $i^\text{th}$ linha é a tupla $(1, x_i, y_i)$.

Quando há pesos, necessariamente positivos, podemos escrevê-los como $w_i^2$. Por definição, os mínimos quadrados ponderados minimizam

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

Mas é exatamente isso que a caixa preta do OLS está minimizando quando a tabela de dados consiste nas tuplas "ponderadas" $(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$. Portanto, a aplicação das fórmulas OLS a essas tuplas ponderadas fornece as fórmulas que você procura.