Existem equivalentes normalizados para Skewness e Kurtosis?

Qual seria o equivalente normalizado ao Skewness que teria a mesma unidade que os dados? Da mesma forma, qual seria o equivalente normalizado à curtose? Idealmente, essas funções devem ser lineares com relação aos dados, o que significa que, se todas as observações fossem multiplicadas por um fator n, a assimetria normalizada e a curtose resultantes seriam multiplicadas pelo mesmo fator n. O benefício de ter esses equivalentes normalizados seria poder cobri-los sobre um gráfico padrão de caixa e bigode.

As medidas de assimetria são deliberadamente sem unidade .

A distorção de momento usual é um terceiro momento padronizado, .$E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$

Se você centraliza, mas não padroniza, você tem ... que é claramente então em unidades em cubos .$\mu_3=E[(X-\mu)^3]$

Se você quisesse algo nas mesmas unidades que , teria que pegar a raiz do cubo, da mesma forma que pegamos a raiz quadrada de variação e obtivemos algo nas mesmas unidades dos dados originais. (No entanto, cuidado, porque muitos pacotes não têm raízes negativas em números negativos, você pode calculá-lo como: )$X$$\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$

Não tenho certeza de quão útil isso será.

Para algumas outras medidas de assimetria, como as duas medidas de assimetria de Pearson, você apenas multiplica por .$\sigma$

Para medidas de assimetria da amostra em que e geralmente não são conhecidos, como na assimetria da amostra, você normalmente as substitui por suas próprias estimativas de amostra.$\sigma$$\mu$

A curtose segue o mesmo padrão - para curtose momentânea, é necessário criar a quarta raiz do quarto momento não padronizado para obter algo que seja escalonado com os dados.

Para algumas das outras medidas de curtose, elas só precisariam ser multiplicadas por .$\sigma$

A assimetria e curtose são características da forma. Então, se eu lhe disser que a coisa, uma bola, é redonda , não importa o raio da coisa. Pode ser uma bola pequena ou uma bola grande . Por outro lado, quando digo bola pequena ou cubo grande , estou me referindo ao tamanho do objeto, não à forma.

Nesse sentido, o desvio padrão é o tamanho da distribuição, e é por isso que a assimetria e a curtose são normalizadas pelo tamanho. Você também pode dizer que o desvio padrão pertence à mecânica, assimetria e curtose à geometria. Portanto, não, não precisamos tê-los em unidades de medida da variável. Tamanho e forma são separados. Uma bola grande e uma pequena são igualmente redondas , ou seja, o tamanho não importa neste caso :)

Denotando vetores distribuídos na região , vamos assumir o zeroth e o primeiro momento já está normalizado. O segundo momento é calculado com, portanto, se pudermos encontrar a diagonalização , poderemos definir para que seja normalizado:$R$$M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$$M_2 = P\Lambda^2 P^T$

O significado geométrico do segundo momento é "orientação", justificado pelo fato de que a diagonalização normaliza o segundo momento. Quando a assimetria é calculada sob essa normalização, ela é denominada assimetria de Mardia .