Covariância e independência?

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Li no meu livro que não garante que X e Y sejam independentes. Mas se são independentes, sua covariância deve ser 0. Ainda não consegui pensar em nenhum exemplo adequado; alguém poderia fornecer um? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— Porco voador
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Você também pode apreciar uma rápida revisão do Quarteto de Anscombe , que ilustra algumas das muitas maneiras diferentes pelas quais uma covariância diferente de zero pode ser realizada por um conjunto de dados bivariado.

— whuber

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O ponto a ser observado é que a medida de covariância é uma medida de linearidade. O cálculo da covariância está respondendo à pergunta 'Os dados formam um padrão de linha reta?' Se os dados seguem um padrão linear, eles são dependentes. MAS, essa é apenas uma maneira pela qual os dados podem ser dependentes. É como perguntar 'Estou dirigindo de forma imprudente?' Uma pergunta pode ser 'Você está viajando 40 km / h acima do limite de velocidade?' Mas essa não é a única maneira de dirigir de forma imprudente. Outra pergunta poderia ser 'Você está bêbado?' etc. Há mais de uma maneira de dirigir de forma imprudente.

— Adam

A chamada medida de linearidade dá uma estrutura ao relacionamento. O importante é que o relacionamento possa ser não linear, o que não é incomum. Geralmente, covariância não é zero, é hypothetical.The covariância indica a magnitude e não um rácio,

— Subhash C. Davar

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Exemplo fácil: Seja uma variável aleatória que seja ou com probabilidade 0,5. Então seja uma variável aleatória tal que se , e for aleatoriamente ou com probabilidade 0,5 se . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

Claramente e são altamente dependentes (já que conhecer me permite conhecer perfeitamente ), mas sua covariância é zero: ambos têm média zero e $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

Ou, de maneira mais geral, considere qualquer distribuição e modo que para todo (ou seja, uma distribuição conjunta que seja simétrica em torno do eixo ) e você sempre terá covariância zero. Mas você não terá independência sempre que $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ ; isto é, os condicionais não são todos iguais ao marginal. Ou o mesmo para simetria em torno doeixo . $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpillow
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Aqui está o exemplo que sempre dou aos alunos. Pegue uma variável aleatória com e , por exemplo, variável aleatória normal com média zero. Tome . É claro que e estão relacionados, mas $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
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Eu também gosto desse exemplo. Como um caso particular, um N (0,1) rv e um chi2 (1) rv não são correlacionados.

— Ocram

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E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

@DilipSarwate, obrigado, editei minha resposta de acordo. Quando o escrevi, pensei sobre variáveis normais, para elas o terceiro momento zero segue a média zero.

— Mvctas

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A imagem abaixo (fonte Wikipedia ) possui vários exemplos na terceira linha, em particular o primeiro e o quarto exemplos têm uma forte relação dependente, mas 0 correlação (e 0 covariância).

insira a descrição da imagem aqui

— naught101
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Alguns outros exemplos, considere pontos de dados que formam um círculo ou elipse, a covariância é 0, mas sabendo que x você reduz y a 2 valores. Ou dados em um quadrado ou retângulo. Os dados que formam um X ou V ou ^ ou <ou> também fornecerão covariância 0, mas não são independentes. Se y = sin (x) (ou cos) ex cobre um múltiplo inteiro de períodos, cov será igual a 0, mas sabendo que x você conhece y ou pelo menos | y | na elipse, x, <e> casos.

— Greg Snow
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Que se deve ser "se x tampas de um múltiplo inteiro de períodos desde um pico ou vale", ou de forma mais geral: "Se x abrange um intervalo em que y é simétrica"

— naught101

você poderia explicar por que a covariância é zero para um círculo?

— user1993

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@ user1993, veja a fórmula da covariância (ou correlação). Então pense no círculo / elipse. Subtrair as médias fornece um círculo centrado em (0,0); portanto, para cada ponto do círculo, você pode refletir o ponto ao redor do eixo x, do eixo y e de ambos os eixos para encontrar um total de 4 pontos contribua exatamente com o mesmo valor absoluto para a covariância, mas 2 será positivo e 2 será negativo, resultando em uma soma de 0. Faça isso para todos os pontos em um círculo e você adicionará um monte de 0 dando uma covariância total de 0.

— Greg Snow