Desvio absoluto mediano (MAD) e DP de diferentes distribuições

Para dados distribuídos normalmente, o desvio padrão e o desvio absoluto médio são relacionados por: $\sigma$ $\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

onde é a função de distribuição cumulativa para a distribuição normal padrão. $\Phi()$

Existe alguma relação semelhante para outras distribuições?

distributions standard-deviation mad

— vic
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Qual distribuição você tinha em mente?

— gung - Restabelece Monica

Nenhuma distribuição específica. Eu apenas se deparar com alguns conjuntos estranhos de dados, e eu gostaria de saber se há um possível intervalo de valores da constante ...

— vic

Sim, para muitas distribuições - mas os números são diferentes.

— Glen_b -Reinstala Monica

Se você deseja conhecer o possível intervalo de valores que podem converter MAD em SD, por que não fazer isso na pergunta?

— Glen_b -Reinstala Monica

Por favor, explique o que é o "MAD": ele tem mais de um significado convencional! (E ambos fornecem os mesmos valores para distribuições normais.)

— whuber

Respostas:

Para resolver a questão nos comentários:

Gostaria de saber se existe um possível intervalo de valores da constante

(Presumo que a pergunta se destine a ser sobre o desvio médio da mediana.)

A proporção de SD para MAD pode ser arbitrariamente grande.

Pegue alguma distribuição com uma determinada proporção de SD para MAD. Segurar o meio da distribuição fixo (o que significa que é inalterado MAD). Mova as caudas ainda mais. SD aumenta. Continue movendo-o além de qualquer limite finito. $50\%+\epsilon$
A relação SD / MAD pode ser facilmente calculada o mais próximo de conforme desejado (por exemplo) colocandoemeem 0. $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

Eu acho que seria o menor possível.

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— Glen_b -Reinstate Monica
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A sua interpretação de "MAD" é o desvio absoluto médio da média ou da mediana (que geralmente é usada e é explicitamente a interpretação na resposta de Xi'an)?

— whuber

@ Whuber - é importante ser claro, obrigado. Estou interpretando a partir da mediana, como Xi'an fez. (Eu

— cometi

Não vi nenhum erro - simplesmente não ficou claro na pergunta ou na sua resposta qual a interpretação pretendida (embora com algumas análises o leitor possa descobrir qual você está usando). Lembro-me de ter visto uma pergunta sobre a interpretação do desvio da média apenas algumas semanas atrás.

— whuber

Para qualquer distribuição de densidade , o desvio absoluto médio é dado por , onde é a CDF de e , onde é a CDF de . $f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

Nos casos em que , ou seja, quando o desvio padrão é o único parâmetro, é, portanto, uma função determinística de . $\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
$\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ $\mu$ $G_\theta$ $\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$

— Xi'an
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