Expectativa de produtos de ordem superior de distribuições normais

Eu tenho duas variáveis normalmente distribuídas e com zero médio e matriz de covariância . Estou interessado em tentar calcular o valor de em termos das entradas de . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

Usei a lei da probabilidade total para obter mas não sei ao que a expectativa interna se reduz. Existe outro método aqui? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Obrigado.

Editar: As variáveis também são multivariadas normalmente distribuídas.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
fonte

Do e desfrutar de uma bivariada distribuição normal também? (Apenas dizer que e são normais com matriz de covariância não é suficiente para concluir que a distribuição conjunta é normal bivariada).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate

Para a aplicação específica que tenho em mente, e têm uma distribuição normal bivariada, pelo teorema do limite central multivariado. Eu esqueci de mencionar isso no meu post original.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK se você quiser esclarecer sua postagem, existe um botão "editar" que permite fazer alterações. Isso é melhor para futuros leitores que não precisam procurar informações importantes nos comentários abaixo da pergunta.

— Silverfish

A expectativa é claramente proporcional ao produto dos fatores de escala ao quadrado . A constante de proporcionalidade é obtida pela padronização das variáveis, o que reduz à matriz de correlação com correlação . $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Assumindo normalidade bivariada, de acordo com a análise em https://stats.stackexchange.com/a/71303, podemos alterar as variáveis para

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

onde tem uma distribuição normal bivariada padrão (não correlacionada) e precisamos apenas calcular $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

onde o valor preciso da constante não importa. ( é o resíduo na regressão de contra .) Usando as expectativas univariadas para a distribuição normal padrão $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

e observando que e são rendimentos independentes $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Multiplicar por fornece $\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

O mesmo método se aplica a encontrar a expectativa de qualquer polinômio em , porque ele se torna um polinômio em e que, quando expandido, é um polinómio nas independentes variáveis normalmente distribuídos e . De $(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

para integral (com todos os momentos ímpares iguais a zero por simetria), podemos derivar $k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(com todas as outras expectativas de monômios iguais a zero). Isso é proporcional a uma função hipergeométrica (quase por definição: as manipulações envolvidas não são profundas ou instrutivas),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

A função hipergeométrica vezes é vista como uma correção multiplicativa para diferente de zero . $\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
fonte

Obrigado pela resposta detalhada! Também estou pensando em questões relacionadas com outros polinômios, portanto essa é uma estrutura realmente útil. Essa é uma transformação muito inteligente que eu não tinha visto antes. Legal!

— AGK

Para ajudar na sua investigação, forneci os detalhes dos polinômios gerais. Ao escrever originalmente esta resposta, fiquei divertido ao perceber que aprendi essa transformação no livro de estatísticas elementares de Friedman, Pisani e Purves: ensinamos isso aos calouros da faculdade!

— whuber