Como calcular a função de probabilidade

Tempo de vida de 3 componentes electrónicos são e . As variáveis aleatórias foram modeladas como uma amostra aleatória de tamanho 3 da distribuição exponencial com o parâmetro . A função de probabilidade é, para $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

, onde . $f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ $x = (2, 1.5, 2.1)$

E então o problema prossegue para determinar o MLE encontrando o valor de que maximiza . Minha pergunta é: como determino a função de probabilidade? Procurei o pdf da distribuição exponencial, mas é diferente. Então, a função de probabilidade sempre é dada a mim em um problema? Ou tenho que determinar eu mesmo? Se sim, como? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential

— Adrian
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Por que você deseja fazer uma estimativa de probabilidade com apenas três observações? A estimativa

para

será tendenciosa e terá uma enorme variação. É HW?

θ

$\theta$

— Zachary Blumenfeld

Você sabe qual é a definição da probabilidade?

— Glen_b -Reinstala Monica

A função de probabilidade de uma amostra é a densidade conjunta das variáveis aleatórias envolvidas, mas vista como uma função dos parâmetros desconhecidos, dada uma amostra específica de realizações dessas variáveis aleatórias.

No seu caso, parece que a suposição aqui é que a vida útil desses componentes eletrônicos segue (ou seja, tem uma distribuição marginal), uma distribuição exponencial com o parâmetro de taxa idêntico e, portanto, o PDF marginal é: $\theta$

f_{X_{i}} (x_{i} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{i}}, i = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Além disso, parece que a vida de cada componente é totalmente independente da vida dos outros. Nesse caso, a função densidade da junta é o produto das três densidades,

f_{X 1, X 2, X 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{1}} \cdot θ e^{- θ x_{2}} \cdot θ e^{- θ x_{3}} = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

Para transformar isso na função de probabilidade da amostra, nós a vemos como uma função de dada uma amostra específica de 's. $\theta$ $x_i$

eu (θ ∣ {x_{1 1}, x_{2}, x_{3}}) = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{Eu = 1 1}^{3} x_{Eu}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

eu (θ ∣ {x_{1 1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot \exp {- 6.6. θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

$x_i$ $\theta$ $x$ $\theta$

$n=3$ $6.6$ $\theta$ $\sum x$

— Alecos Papadopoulos
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