Calcular um percentil é o mesmo que avaliar uma função de densidade cumulativa?

Estou tentando pular da idéia de um percentil, digamos, sobre a linha do número real (onde o n-ésimo percentil é simplesmente a posição na qual n% dos pontos de dados estão abaixo dele e 100-n% estão acima dele ), à ideia da área sob uma função de densidade de probabilidade.

Se eu quiser conhecer o percentil 50% de um conjunto de números, encontrarei o ponto em que metade dos números está abaixo, metade dos números está acima. Esse é o percentil de 50%, e pronto.

Se eu quiser conhecer o percentil 50% de uma distribuição, digamos, um Z-score, avaliarei o cdf de 0 a 50 e pronto. Estou dizendo isso correto?

Isso parece intuitivo, mas preciso de alguma discussão para enfatizar isso. Ou, eu poderia estar completamente ...

Você está perto, mas não exatamente certo. Lembre-se de que a área sob uma distribuição de probabilidade deve somar 1. A função de densidade cumulativa (CDF) é uma função com valores em [0,1], pois o CDF é definido como onde f (x) é a função de densidade de probabilidade. O percentil 50 é a probabilidade total de 50% das amostras, o que significa o ponto em que o CDF atinge 0,5. Ou, em termos mais gerais, o percentil é o ponto em que o CDF atinge p / 100.

Não. Essencialmente, calcular um percentil (ou um p-quantil) é equivalente a encontrar o inverso de um CDF.

Observe que o inverso, no sentido usual, de um CDF pode não existir e a noção de inverso generalizado deve ser introduzida. Para tornar a discussão precisa, esclarecemos todas as definições.

$F:[-\infty,\infty]\rightarrow[0,1]$

1. $x,y\in[-\infty,\infty]$$x<y$$F(x)\leq F(y)$

2. (Continuidade direita) Para qualquer $a\in\mathbb{R}$$F(a)=\lim_{x\rightarrow a+}F(x)$

3. $F(-\infty)=\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0$

4. $F(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1$

$F$$Inv_{1}F$$Inv_{2}F$

$Inv_{1}F:[0,1]\rightarrow[-\infty,\infty]$$Inv_{1}F(x)=\inf\{y\mid F(y)\geq x\},$

$Inv_{2}F:[0,1]\rightarrow[-\infty,\infty]$$Inv_{2}F(x)=\inf\{y\mid F(y)>x\}$

$\inf(\emptyset)=\infty$

$p\in[0,1]$$p$$Inv_{1}F(p)$

Obviamente, se é estritamente crescente e contínuo, ambas as versões do inverso generalizado são iguais e reduzem-se ao inverso usual da função$F$$F^{-1}:[0,1]\rightarrow[-\infty,\infty].$

Para mais informações: https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf